Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Maximalwert von f(x,y)
Gehe zu Seite Zurück  1, 2
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Maximalwert von f(x,y)
 
Autor Nachricht
OldMaggie
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 24.05.2007
Beiträge: 311
Wohnort: Rheinland-Pfalz

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2009 - 13:50:53    Titel: Maximalwert von f(x,y)

Ich möchte den Maximalwert von f(x,y) = xy/(1+2y) berechnen unter der Nebenbedingung x^2+y^2=1
Wenn ich die partiellen Ableitungen =0 setze erhalte ich für x=0 y=+-1 bzw. für y=0 x=+-1. Aber das Ergebnis befriedigt mich nicht. Was mache ich falsch?

OldMaggie
BarneyG.
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 667

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2009 - 16:24:58    Titel:

Nee, Old Maggie, mit der partiellen Ableitung musst du doch hier gar nicht herumturnen.

x und y sind über die Nebenbedingung abhängig voneinander. Die Punkte (x | y) liegen nämlich auf dem Einheitskreis!

Also, löst du die Kreisgleichung erst mal nach y auf. Und dann kannst du y in die zu optimierende Funktion einsetzen. Und, schwupps, schon hast du eine Funktion mit nur noch einer Variablen. Die kannst du dann differenzieren ... und anschließend Null setzen. Das ist zwar ein bisschen wuchtig, aber durchaus zu schaffen. Wink

Blöde ist nur, dass die Kreisgleichung eben keine eindeutige Auflösung zulässt. Da gibt es zwei Teilfunktionen. Aber das handelst du halt z.B. über eine Fallunterscheidung ab.

Wenn du noch beachtest, dass der Nenner der zu optimierenden Funktion gemeinerweise Null werden kann, dann sollte die Aufgabe schon fast gelöst sein ... Very Happy
OldMaggie
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 24.05.2007
Beiträge: 311
Wohnort: Rheinland-Pfalz

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2009 - 18:26:58    Titel:

Danke, Barney. Ich bin eifrig am Rechnen. Habe allerdings nach x aufgelöst, das ergibt die einfacheren Gleichungen. Die Ergebnisse für +sqrt(1-y^2) sehen bislang auch plausibel aus.

Werde gleich den Fall x=-sqrt(1-y^2) durchrechnen.

OldMaggie
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2009 - 19:54:08    Titel:

.
Zitat:
Ich bin eifrig am Rechnen...
← ............................ wieso denn das ? Sad

.. wenn du von allen Punkten des Einheitskreises x²+y²=1 denjenigen suchst, für den
f(x,y) = xy/(1+2y) möglichst gross wird, dann brauchst du doch nicht lange suchen.. Wink

BarneyG. hat dir ja den relevanten Hinweis zum Schluss subtil notiert:
Zitat:
Wenn du noch beachtest, dass ..
.. dann sollte die Aufgabe schon fast gelöst sein ..
.. ......................... denn noch gösser gehts wohl nicht.
..jedenfalls dann, wenn du dich von der richtigen Seite heranpirscht .
.


aber vielleicht solltest du sicherheitshalber nochmal genau nachlesen:
wenn die Nebenbedingung x²+y²=1 mit x>0,y>0 wäre,
dann würde es etwas interessanter... Wink ?
.
OldMaggie
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 24.05.2007
Beiträge: 311
Wohnort: Rheinland-Pfalz

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2009 - 13:15:05    Titel:

Bitte, Mathefan, gib mir ein paar Erläuterungen!

Eigentlich verstehe ich von dem Thema nichts und brauche es für mich auch nicht mehr (wegen Erreichen der Altersgrenze), aber ich will meinem Neffen helfen, der im Semester einen Durchhänger hatte, diesen Durchhänger ehrlich bereut und jetzt trotzdem die Klausur schaffen will.

Wenn es mir gelingt, die Sache selbst zu verstehen, dann kann ich es ihm auch erklären und mit ihm üben. Habe gleich noch eine andere Aufgabe, für die ich aber besser einen neuen Thread aufmache.

Würde mich also freuen, wenn uns jemand hilft.

OldMaggie
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2009 - 17:55:57    Titel:

.
Zitat:
..gib mir ein paar Erläuterungen!

also, da solltest du schon konkreter fragen..

Woher soll ich denn sonst wissen, was dir noch unklar ist - und welchen
mathematischen Wissenshintergrund du hast auf den man sich dann
beziehen könnte..

also Beispiele:

- f(x,y) = xy/(1+2y) ← siehst du, für welche Werte der Term nicht definiert ist?

- auf dem Einheitskreis x²+y²=1 ← da liegen zwei Punkte mit y= -1/2 .. ja?

- ist dir klar, warum ich dir oben empfohlen habe, den Aufgabentext wirklich
erst nochmal ganz genau zu lesen und hier vollständig zu notieren.. ?

usw, usw ....
BarneyG.
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 667

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2009 - 18:58:51    Titel:

Zitat:
sondern habe gerechnet.


Also ehe wir hier im luftleeren Raum diskutieren.

Wir reden von einem lokalen Maximum und einer Polstelle.

1. Die Polstelle bei y=-1/2 hast du ja richtig erkannt.

2. Das lokale Maximum ist weitaus schwerer zu berechnen.

Man kann die Nebenbedingung nach x oder y auflösen. Du hast ganz richtig angemerkt, dass es besser sei, nach y aufzulösen.

Wenn du das so gemacht hast, dann erhältst du (für den ersten Zweig) die folgende Funktionsvorschrift:

f(y) = y * sqrt(1 - y^2) / (1 + 2*y)

Diese Funktion musst du nach y ableiten. Dazu musst du die Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel anwenden. Die Rechnung ist alles andere als trivial! Du erhältst ziemlich wuchtige Ausdrücke für f'(y).

Hast du das denn gemacht?

Und dann musst du die Nullstelle(n) von f'(y) bestimmen.

Wenn das dein Rechenweg war, dann kannst du den ja mal hier einstellen. Dann kann ich dir auch sagen, ob das alles seine Richtigkeit hat. Very Happy

Wenn du mir jetzt vielleicht noch - sozusagen off topic - eine persönliche Anmerkung gestattest:

Das Modell, dass DU Mathe lernen willst, um dann in Folge deinen studienresistenten Neffen zu trainieren, das wird m.E. auf Dauer nicht funktionieren! Erstens einmal muss man als Lehrer den Stoff SOUVERÄN beherrschen. Zweitens könnte dich so ein Studium sehr rasch überfordern. Und drittens ist das vielleicht nicht unbedingt der richtige Weg, deinen Neffen dazu zu bringen, für sich selbst Verantwortung zu übernehmen. Und ohne diese Bereitschaft, sehe ich für so ein Studium jedenfalls mehr als schwarz ... Vielleicht solltest du deine Energien besser dazu verwenden, deinen Neffen auf den Boden der Realität zu holen, damit er SELBST anfängt sein Studium in seine eigenen Hände zu nehmen.

Na ja, das ist halt meine persönliche Meinung. Was du damit anfängst musst du schon selber wissen ... Very Happy


Zuletzt bearbeitet von BarneyG. am 14 Feb 2009 - 19:02:55, insgesamt 2-mal bearbeitet
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2009 - 19:00:01    Titel:

.
f(x,y) = xy/(1+2y)
Maximalwert unter der Nebenbedingung x²+y²=1 und x>0,y>0
Zitat:
Mein Ergebnis war x = 0,625 und y = 0-78. Stimmt das?

Very Happy .. mein Ergebnis ist x ≈ 0,82495549.. und y ≈ 0,5651977.....→fmax≈ 0,21886.. .. ? vielleicht stimmts ?

allerdings würdest du im Intervall -0,9<y<-0,5 jede Menge beliebig grössere
Werte für f(x,y) = xy/(1+2y) (unter der Nebenbedingung x²+y²=1) finden Very Happy
aber du beantwortest ja meine diesbezügliche Frage einfach nicht.. Sad

.
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Maximalwert von f(x,y)
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite Zurück  1, 2
Seite 2 von 2

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum