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Beweis für Irrationalität
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 08:14:33    Titel: Beweis für Irrationalität

Hallo,

ich habe hier die Aufgabe, zu zeigen, dass [;\sqrt[n]{m};] irrational ist, wenn m nicht eine n-te Potenz ist.

Zeigen soll man das mithilfe der Aufgabe, dass eine rationale Nullstelle a eines normierten Polynoms f € Z[X] schon ganzzahlig und ein Teiler des Absolutgliedes ist.

Wie geht man nun vor? Ich denke mal, der Beweis läuft indirekt: Ich nehme also an, [;a = \sqrt[n]{m};] sei rational und Nullstelle eines normierten Polynoms. Dann führe ich das Ganze zum Widerspruch, weil a kein Teiler des Absolutgliedes sein kann?
Wie genau mache ich das?
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 17:36:15    Titel: Re: Beweis für Irrationalität

Niemand eine Idee?

Okay, versuch's ich mal:
Angenommen, a = [;\sqrt[n]{m};] ist rational und Nullstelle des Polynoms f(x) € Z[x], also f(a) = a^k + b_k-1 * a^(k-1) + ... + b2 * a^2 + b1 * a + b0 = 0

Nach dem zitierten Satz ist dann a € Z und ein Teiler des Absolutgliedes, also
[;a\cdot t =\sqrt[n]{m}\cdot t= b_0;]

[;\sqrt[n]{m}=\frac{b_0}{t};]

[;m=\frac{(b_0)^n}{t^n}=(\frac{b_0}{t})^n;]

Damit wäre m aber eine n-te Potenz, was nach Voraussetzung ausgeschlossen war. --> Widerspruch, also ist [;\sqrt[n]{m};] irrational.

Kann man das so machen?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 17:52:39    Titel:

Dein Problem ist: Du müsstest ersteinmal ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden, wo deine Wurzel eine Nullstelle ist...

Schau dir dazu das Polynom x^n - m an.

Cyrix
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 18:23:21    Titel:

Gut, dann habe ich damit ja ein passendes Polynom, denn [;(\sqrt[n]{m})^n-m=0;], also ist [;\sqrt[n]{m};] Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten.

Nach der obigen Aussage gilt dann [;\sqrt[n]{m}\in \mathbb Z;] und [;\sqrt[n]{m};] teilt das Absolutglied, also m.

--> Es gibt ein [;t\in \mathbb Z;] mit [;\sqrt[n]{m}\cdot t = m;]
--> [;\sqrt[n]{m}= \frac{m}{t};]
--> [;m= (\frac{m}{t})^n;]

--> m ist eine n-te Potenz, Widerspruch zur Voraussetzung.

Geht's so?
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 07:25:12    Titel:

Könnte nochmal jemand einen Blick drauf werfen, ob irgendwas fundamental schief gelaufen ist?

Danke! Smile
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