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Hauptideale in Z[i]
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Hauptideale in Z[i]
 
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
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BeitragVerfasst am: 18 März 2009 - 19:57:05    Titel: Hauptideale in Z[i]

Hi,

ich habe in einem Skript gelesen, dass der Ring der Gaußschen Zahlen Z[i] = {a+bi, a,b € Z} ein Hauptidealring ist. Jetzt wollte ich mir mal klarmachen, wie die Ideale in Z[i] überhaupt aussehen und von welchem Element sie jeweils erzeugt werden.

Ein Ideal I hat ja die Eigenschaft, dass für x € I das Produkt r*x € I ist (r € R, also der Ring, in dem I Ideal ist). Wenn ich das Produkt zweier Elemente aus Z[i] bilde, erhalte ich (a+bi)*(c+di) = ac-bd + i(ad+bc), das ist zwar wieder ein Ringelement, aber ich kann darin keine Struktur eines Ideals erkennen.

Oder müsste ich r*(a+bi) = ra + rbi betrachten, d.h. die Ringelemente sind ganze Zahlen? Eigentlich doch nicht, da Z[i] ja der Ring ist und nicht Z...
Wer kann mir weiterhelfen?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 18 März 2009 - 20:08:26    Titel:

Hallo!

Du hast schon recht: Wenn du ein Element des Rings mit einem Ideal-Element multiplizierst, muss das Produkt wieder in dem Ideal liegen.

Deine Überlegungen, die du nach der Multiplikation angestellt hast, kann ich irgendwo nicht nachvollziehen...

Du musst halt zeigen, dass jedes Ideal von nur einem einzigen Element erzeugt wird.

Wie man dabei möglichst einfach bei den Gaußschen Zahlen vorgeht, muss ich nochmal drüber nachdenken...


Cyrix
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 18 März 2009 - 20:22:55    Titel:

cyrix42 hat folgendes geschrieben:
Du musst halt zeigen, dass jedes Ideal von nur einem einzigen Element erzeugt wird.

Dazu wollte ich ja erstmal wissen, wie die Ideale in Z[i] überhaupt aussehen.

Die Untergruppen von Z[i] müssten ja die Form U = {k*(a+bi), k € Z, a,b € Z fest} haben, das wären anschaulich alle Ursprungsgeraden in der Gaußschen Zahlenebene.
Aber sind das auch Ideale? Die Bedingung "abelsche Gruppe bzgl. der Addition" ist klar, denn k*(a+bi) + m*(a+bi) = (k+m)*(a+bi).
Aber bei der zweiten Bedingung bin ich mir unsicher. Ich müsste ja ein Element aus dem Ring, also z.B. (c+di) mit einem Element aus dem Ideal, also z.B. k*(a+bi) multiplizieren und wieder ein Element des Ideals erhalten:

(c+di) * k * (a+bi) = k * ((ac-bd)+i(ad+bc))

Da sehe ich aber nicht, dass das wieder ein Element aus U ist.

Hm...
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 18 März 2009 - 20:29:35    Titel:

Die beste methode um die Ideale in Z[i] zu charakterisieren ist genau die, die wir hier beweisen wollen: Für jedes Element a+ib aus diesem Ring gibt es ein Ideal, welches von diesem erzeugt wird. (Natürlich ist diese Abbildung Z[i] ---> "Menge der Ideale auf diesem Ring" dann surjektiv, aber nicht injektiv, weil z.B. x und -x das gleiche Ideal erzeugen.)

Die Ugr der Gruppe Z[i] sind so charakterisiert, wie du sagst, ja. Aber das führt dich nicht weiter...

Natürlich ist jedes Ideal eine Ugr, aber wie du schlussfolgern willst, ist mir immernoch unklar...


Cyrix
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 18 März 2009 - 20:31:55    Titel:

Oder ganz platt geschrieben: Alle Ideale in Z[i] sehen eben so aus:

I=<m>={m*n | n aus Z[i]}.


Wenn du schon weißt, dass der Ring noethersch ist, dann kannst du von vorn herein nur über endlich erzeugte Ideale nachdenken, wenn nicht, musst du mit der allgemeinen Def. vorlieb nehmen.


Ich schreibe gerade an einem Beweis, dass Z[i] ein Hauptidealring ist. Ist nicht schwer, ich hänge aber gerade an einer Stelle..

Cyrix
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 18 März 2009 - 20:38:05    Titel:

Was schreibt ihr hier eigentlich von Untergruppen? Ich dachte Ideale werden nur im Zusammenhang mit Ringen (oder stärkeren Strukturen) betrachtet. Die Unterringe des Ringes der Gaußzahlen sind keinesfalls die von Tiamat angegeben, da Abgeschlossenheit unter Multiplikation nicht gegeben ist.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 18 März 2009 - 20:43:05    Titel:

Nun, ich dachte, er bezieht sich bei seinen UGruppen auf die additive Struktur von Z[i], denn Ideale sind ja besondere solche UGr...

Cyrix
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
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BeitragVerfasst am: 18 März 2009 - 20:47:44    Titel:

Annihilator hat folgendes geschrieben:
Die Unterringe des Ringes der Gaußzahlen sind keinesfalls die von Tiamat angegeben, da Abgeschlossenheit unter Multiplikation nicht gegeben ist.

Aha, irgendwie hatte ich sowas vermutet. Ja, danke für den Hinweis, Annihilator.
Wie aber sehen die Unterringe von Z[i] dann aus? Ich dachte, wenn man die Struktur der Unterringe erstmal kennt, kommt man auch schnell darauf, welche davon Ideale sind und wovon diese wiederum erzeugt werden...
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 18 März 2009 - 20:56:06    Titel:

Nun, es ist so wie Cyrix schon sagte: Ein Ideal eines Ringes muss nicht zwangsläufig ein Unterring sein, wohl aber eine Untergruppe der additiven Gruppe des Rings und da würde ich auch sagen, dass das von dir angegebene U genau diese Menge abdeckt. Sorry, falls ich damit Verwirrung gestiftet habe.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 18 März 2009 - 20:58:39    Titel:

Ah, das ist doch gar nicht so schwer:

1) Wir wählen uns ein Element minimaler positiver Norm (Korrektur von meinem Beitrag eben: Hier ist Norm=Betragsquadrat; es ist nämlich ||a+ib||=a^2+b^2) m in unserem Ideal I.

2) Wir zeigen, dass jedes Element n aus unserem Ideal I durch m teilbar ist:
2.1) Wir zeigen, dass in dem Ring Z[i] eine Division mit Rest möglich ist,
2.2) Wir wenden diese bei n/m an, und erhalten unsere Aussage.

3) Wir zeigen, dass I von m erzeugt wird.

Dann mal los:

1) Da alle Elemente unseres Ideals die Form a+ib mit ganzen Zahlen a,b haben, sind auch deren Normen a^2+b^2 jeweils ganze Zahlen, und zwar nicht-negativ ganz.

Ist unser I zufällig das Null-Ideal, so ist es offensichtlich ein Hauptideal (welches von der Null erzeugt wird). Sei also im folgenden I ungleich dem Nullideal.

Dann existiert ein Element a+ib!=0 in I, also mindestens eine positive ganze Zahl x, für welche es ein Element aus I mit Norm x gibt. damit ist die Menge der positiven Zahlen, welche Norm eines Elements aus I sind, nicht leer.

Da diese Menge als Teilmenge der ganzen Zahlen diskret und durch die 1 nach unten beschränkt, sowie nichtleer ist, existiert also ein minimales Element in dieser Menge von Normen. Damit existiert auch mindestens ein Element m=a+ib mit ganzen Zahlen a,b, welches diese minimale Norm besitzt.

2.1)
Wir wollen eine "Division mit Rest" auf diesem Ring definieren. Dafür ist das wesentliche, dass Quotient und Rest existieren und vor allem, dass der Rest in irgendeiner Form "kleiner" sein muss als der Divisor. Um das zu erreichen, gehen wir ähnlich vor wie in den natürlichen Zahlen, nur diesmal wird die Norm die entscheidende Rolle spielen: Die Norm des Rests soll diesmal immer kleiner sein als die des Dividenden:

Seien also a+ib und c+id aus den Gaußschen Zahlen.

Wir betrachten nun die Menge M:={a+ib - (c+id)*(e+if) | e+if aus Z[i]}. Auch diese Menge ist offensichtlich nichtleer, enthält also analog zu 1) Elemente minimaler Norm. Wir zeigen nun noch, dass dessen Norm kleiner ist als die von c+id:

Die Menge M erzeugt uns in der komplexen Zahlenebene ein Gitter (d.h. eine diskrete Untergruppe): Wir können uns dies als "schiefes Kästchenpapier" vorstellen. Dabei ist eine "Kästchenlänge" (also der Abstand zweier benachbarter Gitterpunkte) genau |c+id|.

Die Aussage, die wir zeigen müssen, ist nun, dass der Punkt a+ib weniger als eine "Kästchenlänge" vom nächsten Gitterpunkt entfernt ist. Dies ist aber offensichtlich.

Bemerkung: Wir können sogar zeigen, dass die Norm durch die halbe Norm des Divisors beschränkt ist, denn die Entfernung von jedem Punkt innerhalb eines Kästchens zum nächsten Gitterpunkt ist ja maximal sqrt(2)/2*Käschtenlänge...

Bemerkung 2: Rest und Quotient sind nicht unbedingt eindeutig bestimmt. Das stört uns aber nicht, denn selbst wenn der Rest nicht eindeutig bestimmt ist, dann doch zumindest seine Norm, und das ist wichtig.

2.2) Zurück zu unserem Ausgangsproblem:

Wir hatten ein Element m!=0 minimaler positiver Norm aus unserem Ideal I gewählt, und zustäzlich jetzt noch ein beliebiges Element n aus I. Wir wollen zeigen, dass n durch m teilbar ist.

Dazu teilen wir n durch m mit Rest und erhalten eine Darstellung n=q*m+r, mit ||r||<||m||.

Umgekehrt ist dann aber r=n-q*m in I, da q*m in I liegt (weil m in I ist, und I abgeschlossen ist unter Multiplikation mit Ringelementen) und weil n in I liegt, und I abgeschlossen ist unter Addition.

Also ist r Element von I.

Da aber m so gewählt war, dass es minimale positive Norm hat, und ||r||<||m|| gilt, muss ||r||=0, also r=0 gelten. Also ist n durch m teilbar.


3) Da jedes Element von I durch m teilbar ist, ist I Teilmenge von {m*q | q aus Z[i]}.

Umgekehrt muss mit m auch m*a, für eine ganze Zahl a in I liegen. Analog auch m*i und auch m*ib für eine ganze Zahl b. Schließlich also auch m*(a+ib), also ganz <m>.

Damit ist I=<m> und Z[i] ein Hauptidealring.

QED


Cyrix
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