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Schreibweise-Frage
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Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 01.01.2009
Beiträge: 757

BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 19:49:22    Titel: Schreibweise-Frage

Hallo,

mir ist diese Schreibweise hier schon klar:
f: (a,b) Teilmenge R --> R
x-->f(x)=...

Was jetzt aber, wenn die Funktion nicht von R in den R^n, sondern von einem R^m mit m€N\{1} gilt?

Geht sowas hier:

f: [x€(a,b), y€(c,d)] Teilmengenzeichen R² -->R^n?

also wenn ich schon von Anfang an 2 Variable hab oder mehr, wobei nur je ein bestimmtes Intervall, in denen x bzw y jeweils liegen, in den R^n abgebildet werden soll, kann ich das dann noch so schreiben oder geht da nur f: U, V Teilmengenzeichen R²-->R² mit U=(a,b) und x€(a,b), V=(c,d) und y€(c,d) oder gar nur so: f: R²-->R² (x,y)-->f(x,y)=... mit x€(a,b), y€(c,d)?

Ich hoffe, ihr versteht meine Frage ... Confused
Danke im Vorraus! Very Happy


PS: statt dem offenen natürlich auch für geschlossene Intervalle, ist ja dann gleich ... also für (a,b) dann [a,b] ... oder iwie halboffene ...
lisa.mainhard
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Anmeldungsdatum: 17.11.2008
Beiträge: 216

BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 22:16:40    Titel:

Hallo,

wenn du Abbildungen von IR^m nach IR^n betrachtest, kannst du die Definitions- bzw. Wertemenge selbstverständlich beliebig einschränken.
Also du kannst ein Intervall M aus IR^m definieren und ein Intervall N aus IR^n und dann eine Abbildung f:M-->N betrachten.

Die einzelnen Teilmengen legst du dann so fest:
M={ (x_1,x_2,.....,x_m) aus R^m | __Eigenschaft 01___ }
N={ (x_1,x_2,.....,x_n) aus R^n | __Eigenschaft 02__ }

Du kannst also für die Vektoren aus IR^m bzw. IR^n bestimmte Eigenschaften festlegen, wie das ja auch im Körper der reellen Zahlen funktioniert, etwa:

X={x aus IR | x < 5 }

Durch diese Mengenangabe ist eine eindeutige Teilmenge aus IR definiert - nämlich alle reellen Zahlen, die echt kleiner als 5 sind.

Ciao,
Lisa
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 25 März 2009 - 10:58:52    Titel: Re: Schreibweise-Frage

Differentialgleichung hat folgendes geschrieben:
Geht sowas hier:

f: [x€(a,b), y€(c,d)] Teilmengenzeichen R² -->R^n?

Nein. Die Intervallgrenzen müssen reelle Zahlen sein, im Moment sind es Wahrheitswerte. Das Teilmengen-Zeichen hat hier - finde ich - auch nix zu suchen. Im Prinzip ist nämlich [; [ a, b ] \subseteq \mathbb{R} ;] mit [; a, b \in \mathbb{R} ;] keine Menge, sondern der Wahrheitswert [; \top ;].
Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 01.01.2009
Beiträge: 757

BeitragVerfasst am: 25 März 2009 - 14:38:12    Titel:

ok, danke euch erst mal!! Very Happy

aber widersprecht ihr euch hier nicht:
Zitat:
Die einzelnen Teilmengen legst du dann so fest:
M={ (x_1,x_2,.....,x_m) aus R^m | __Eigenschaft 01___ }
N={ (x_1,x_2,.....,x_n) aus R^n | __Eigenschaft 02__ }

wenn ich das ausmal als Teilmenge interpretiere und
Zitat:
Das Teilmengen-Zeichen hat hier - finde ich - auch nix zu suchen.


Ich kannte es bisher eigentlich schon so wie hier zB:
f: U-->V U Teilmenge R V Teilmenge R² t-->(x(t), y(t))

danke nochmal Wink
lg!!
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 25 März 2009 - 15:22:32    Titel:

Wiederhol mal ein wenig Mengenlehre!

(x_1, x_2, ..., x_m) kann keine Teilmenge von R^m sein, höchstens ein Element davon.
Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 01.01.2009
Beiträge: 757

BeitragVerfasst am: 25 März 2009 - 16:08:55    Titel:

Annihilator hat folgendes geschrieben:
Wiederhol mal ein wenig Mengenlehre!

(x_1, x_2, ..., x_m) kann keine Teilmenge von R^m sein, höchstens ein Element davon.



Idea Wink ok, klar jetzt!!
danke
Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 01.01.2009
Beiträge: 757

BeitragVerfasst am: 26 März 2009 - 17:02:53    Titel:

Hallo,

hab nochmal etwas darüber nachgedacht und wollt jetzt nochmal kurz nachfragen:
also sowas zB geht, oder?: f: U-->V² t-->(x(t), y(t))
mit U={t|a<t<b)} Teilmenge aus R und V²={x(t)|c<x(t)<d und y(t)|e<y(t)<f} Teilmenge aus R².

Ich weiß, dass das jetzt nicht unbedingt logisch ist, da so durch Einschränkung der Wertemenge die Funktion unstetig sein könnte, aber mir kommts hier nur mal auf formale Richtigkeit an ...

Und wenn ich sowas hab: f: I-->R mit I=(a,b)€R x-->f(x), dann stimmt das jetzt auch formal, oder?

also kurz: U={...} Teilmenge R^m und Z=(a,b)€R^n oder?

danke!! Very Happy
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 26 März 2009 - 17:16:39    Titel:

Du definierst V² als eigene Menge? Dann ist bei dir also V² != V×V. Die Definition selbst macht aber auch keinen Sinn... x(t) soll einmal auf ein Paar abbilden, aber sich selbst als Komponente enthalten? Nach der Definition einer Menge "Teilmengen ..." hinzuschreiben, ist überflüssig (redundante Information). Alles etwas wirr...

Die Wertemenge kannst du nicht einschränken, höchstens die Zielmenge (falls dir der Unterschied nicht bewusst ist, sag Bescheid, dann erklär ich dir's, muss aber dazu etwas weiter ausholen).

(a, b) kann nicht Element der reellen Zahlen sein (es sei denn du definierst etwas neu).
Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 01.01.2009
Beiträge: 757

BeitragVerfasst am: 26 März 2009 - 17:57:13    Titel:

Zitat:
Die Wertemenge kannst du nicht einschränken, höchstens die Zielmenge (falls dir der Unterschied nicht bewusst ist, sag Bescheid, dann erklär ich dir's, muss aber dazu etwas weiter ausholen).

doch danke, das ist klar soweit: Wertemenge gleich alle y, die rauskommen bei der Funktion, Zielmenge praktisch alle y, die theoretisch rauskommen könnten ... stimmt hab ich oben ungenau formuliert ...


naja, das parametrisierte Beispiel war tatsächlich etwas doof gewählt, mal ein Schritt einfacher:
wenn ich hab: f: U-->V x-->f(x) mit U={x|a<x<c} V wird normalerweise nicht eingeschränkt, oder?, also v unechte Teilmenge bzw meistens ganz R.
dagegen: f: I-->R mit I=(a,b)
da versteh ich nicht mehr ganz, warum man da nicht Element von R schreiben kann, ich mein, wenn ich halt die Funktion f: x-->x² hab zB und ich will, dass nur das Intervall I=(2,5) mit x€I in den R abgebildet wird, warum kann ich dann nicht schreiben, dass I selbst ein Element/Teilmenge (?) von R ist? Ich könnt für I ja genau so gut schreiben I={x|2<x<5} ist doch äquivalent zu I=(a,b), oder und mit I={...} kann ich doch auch schreiben I Teilmenge R?

Auf jeden Fall mal danke für die bisherige/n Antwort/en!!
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 26 März 2009 - 18:10:36    Titel:

Differentialgleichung hat folgendes geschrieben:
... warum kann ich dann nicht schreiben, dass I selbst ein Element/Teilmenge (?) von R ist? ...

Teilmenge meinetwegen, obwohl sinnlos. Element auf keinen Fall. Du kannst das Intervall auch direkt in den Funktions-Typ schreiben, also zum Beispiel "artanh : [-1, +1] --> ]-unendlich, +unendlich[". Und klar kannst du schreiben, dass das Intervall [a, b[ ein Teilmenge der reellen Zahlen ist, aber das weiß man auch so, denn es gilt ja [a, b[ = {r € R | (r >= a) und (r < b)}. Eine andere "Domäne" als die reellen Zahlen für Intervalle zu wählen geht zwar prinzipiell auch, aber wenn nicht anderes da steht bzw. definiert wurde, dann sind das immer reelle Zahlen.

Es ist auch sinnlos zu schreiben "f : U --> V, x --> f(x)". Klar wird x auf f(x) abgebildet; auf was sonst? Es würde höchstens Sinn machen eine konkrete Zuordnung hinzuschreiben, also zum Beispiel "f : U --> V, x --> 2x+5".
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