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Extremwertaufgabe / Trapez unter Parabel
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Extremwertaufgabe / Trapez unter Parabel
 
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Chris_x
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Anmeldungsdatum: 17.02.2009
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2009 - 23:57:46    Titel: Extremwertaufgabe / Trapez unter Parabel

Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben sei die Parabel p mit p(x) = -x²+4.
Es sollen die Eckpunkte C und D des gleichschenkligen Trapezes so bestimmt werden, dass der Flächeninhalt des Trapezes normal ist.

Mein Ansatz:

Hauptbedingung:
Fläche Trapez= 1/2(a+c)h
=1/2(x+c)y

Nebenbedingung:
y=-x²+4

y in Zielfunktion:
Fläche Trapez= 1/2(x+c)-x²+4

für x habe ich 1/4 und für y 3,94 als Resultat

Stimmt das bis hier hin?
Ich habe den Eindruck eine Variable zuviel in der Hauptbedingung zu haben...

Viele Grüße

Chris_x
Rechenschieber
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Anmeldungsdatum: 06.10.2008
Beiträge: 1187
Wohnort: Dorsten (NRW)

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2009 - 02:55:12    Titel:

Hi, so mitten in der Nacht Very Happy

Also "normal" gibt's nicht in der MiniMax-Rechnung. Very Happy
Sonst wäre es keine Extremwertaufgabe.

Vielleicht meinst du, dass die Begrenzung des Trapezes den x-Achsenabschnitt zwischen den Parabelschnittpunkten =Grundseite hat und das Trapez irgendwo in Richtung Parabelscheitel seine Parallele hat. Dabei soll die Fläche maximal werden!?

Nun, alle wie ich sie hier im Forum kennen gelernt habe
vergessen eines immer, nämlich sich selbst zu prüfen.
Der Aufwand rechtfertigt das spätere bessere Fortkommen.
Wenn man einen Punkt gefunden hat, setzt man ihn ein, rechnet die Fläche aus und prüft anschließend einen dicht in der Nähe liegenden Punkt links des Graphen und rechts des Graphen. Sind beide Werte (Fläche) kleiner als die errechnete, so kann man davon ausgehen, dass man richtig liegt, oder geschätzt hat...

So, nun zu deiner Arbeit: Schnittpunkte mit der Absisse sind klar, oder?
Zielfunktion ist die Fläche aus A= (a+b)/2 * h
a ist das Intervall zwischen den Schnittpunkten (4)
b ist die Parallele zweimal x
Die Nebenbedingung ist die Parabel Y= h = -x²+4
einsetzen!
A = (4+2*x)/2 *(-x²+4)
A = (2+x)(-x²+4) ausmultiplizieren! und danach Ableiten!
A' = 3x²+4x-4 Null setzen!
Mitternachtsformel liefert + 2/3 und -2 (-2 ist unbrauchbar)
2/3 für x in Parabel eingesetzt lässt den Eckpunkt C und D bestimmen, und die Höhe.
Die Fläche lautet (4+4/3)*h= 9,481...
Den Nachweis ob Minimum/Maximum überlass ich dir.

Man kann die Aufgabe auch einseitig, also nur rechts der Ordinate betrachten, weil sie an ihr gespiegelt wird.
Ist oft einfacher.

LGR
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2009 - 08:46:06    Titel:

.
Zitat:
Gegeben sei die Parabel p mit p(x) = -x²+4.
Es sollen die Eckpunkte C und D des gleichschenkligen Trapezes so bestimmt
werden, dass der Flächeninhalt des Trapezes ....mal ist.

und wo, bitte liegen C und D herum?..
ganz zu schweigen davon, dass es ja gewiss noch irgendwo zwei Ecken A und B geben dürfte..

na ja, Rechenschieber denkt das irgendwie hinein, denn
Zitat:
Der Aufwand rechtfertigt das spätere bessere Fortkommen.

Very Happy
Rechenschieber
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Anmeldungsdatum: 06.10.2008
Beiträge: 1187
Wohnort: Dorsten (NRW)

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2009 - 10:19:47    Titel:

Es ist ja nicht so, als dass man solche Aufgaben noch nicht gelöst hätte.
In meinem Büchlein von 1952 mit 1100 Beispielen aus der Differentialrechnung hat man den Extremwertaufgaben ein so großes Kapitel gewidmet, dass man sie sogar nach der Planimetrie, Stereometrie und der Praxis unterteilt hat.
Der darin enthaltenen Aufgabe mit einer Parabel und einem Rechteck (mit Abb.) brauchte ich nur ein Trapez zuordnen.

Aber man muss ja auch mal 5 gerade sein lassen (oder dürfen das Mathematiker nicht Very Happy ).
Denn,
anhand der Ausrechnung konnte man das ruhigen Gewissens annehmen.

So ist ist es mit den Beweisen in der Mathematik doch erst recht:
"Die Annahme, dass....führt zum Widerspruch..."

Wie dem auch sei, so habe ich mindestens eine Aufgabe als Komplettlösung für alle geliefert und konnte damit gleichzeitig mein Büchlein um die 1111. Aufgabe erweitern.

Gruß an dich Mathefan
Übrigens, der Nick,den du hast, der war für mich schon vergeben Crying or Very sad
Chris_x
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Anmeldungsdatum: 17.02.2009
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 01:37:45    Titel:

Vielen Dank @ Rechenschieber
Natürlich sollte das Trapez maximal werden;)

Kann das Ergebnis jetzt nachvollziehen.


Eine Frage hätte ich noch:
Zitat: Mitternachtsformel liefert + 2/3 und -2 (-2 ist unbrauchbar)

Woher weiß ich denn im vornerein, dass -2 unbrauchbar ist?
Oder woher weiß man das allgemein bei Extremwertaufgaben?

MfG
Rechenschieber
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Anmeldungsdatum: 06.10.2008
Beiträge: 1187
Wohnort: Dorsten (NRW)

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 02:42:19    Titel:

Weil -2|0 genau der Punkt ist, der mit dem Eckpunkt A (also der Parabelschnittpunkt mit der Abszisse) zusammenfällt.

Man hat eben nur einen gewissen Bereich, in dem sich die Lösung(en) bewegen können.

Beispiel:
Zur Übung kannst du sie ja mal rechnen:

Wenn ich aus einem rechteckigen Blech durch Ausschneiden von Quadraten an den 4 Ecken und anschließendem Aufkanten von 90° ein nach oben offenes Kästchen erstellen will, dann kann die Quadratseite höchstens kleiner sein (denn gleich heißt, es würde das Volumen 0 (Null) werden), als die Hälfte der kürzeren Seite.

Maße: 800*600 LE (Längeneinheiten).
Gesucht: Maximalvolumen des Kästchens und der prozentuale Verschnitt.
Viel Spaß

LGR


Zuletzt bearbeitet von Rechenschieber am 18 Apr 2009 - 02:54:54, insgesamt einmal bearbeitet
Chris_x
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Anmeldungsdatum: 17.02.2009
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 02:42:59    Titel:

Nun habe ich es bei einer 2. Aufgabe probiert, wo das Trapez diesmal nicht oberhalb, sondern unterhalb der X-Achse auf der Parabel eingeschrieben ist:

Aufgabe:
Gegeben sei die Parabel p mit p (x) = 2x²-8x+5
Es sollen die Eckpunkte A und B des gleichschenkligen Trapezes bestimmt werden, so dass der Flächeninhalt des Trapezes maximal ist.

Habe wie folgt gerechnet:

Zuerst Nullstellen der Parabel berechnet (3,225 und 0,776,davon die Differenz berechnet,= 2,449 =a)

Hauptbedingung:
Fläche Trapez:
1/2 (a+c)h (c=x,h=y)
1/2 (2,449+x)y

Nebenbedingung:
2x²-8x+5

Zielfunktion: (Parabel in Hauptbedingung eingesetzt)
1/2(2,449+x)* (2x²-8x+5)

Extrema:
A`(x)= 3x²-3,1x-7,3=0 (Mitternachtsformel)

x1=2,16 x2=-1,12

A"(-1,12) =-9,82 <0 = Max

Resultat:

y=-2,95 (x1 in Parabel eingesetzt)

A=6,8 (Werte in Zielfunktion eingesetzt)


Stimmt das oder habe ich wieder irgendwo nen Fehler?

Viele Grüße

Chris_X
Rechenschieber
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Anmeldungsdatum: 06.10.2008
Beiträge: 1187
Wohnort: Dorsten (NRW)

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 03:12:53    Titel:

Du musst 2x haben in deiner Zielfunktion, wenn du den Faktor 1/2 vor der Klammer lässt).
Oder du rechnest grundsätzlich nur mit einer halbe Parabelseite.
Wichtig. Noch bevor du ableitest.

LGR
Diplomierter
Gesperrter User
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Anmeldungsdatum: 12.06.2007
Beiträge: 1988
Wohnort: Am Tor zum Allgäu

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 03:36:24    Titel:

Rechenschieber hat folgendes geschrieben:
Es ist ja nicht so, als dass man solche Aufgaben noch nicht gelöst hätte.
In meinem Büchlein von 1952 mit 1100 Beispielen aus der Differentialrechnung hat man den Extremwertaufgaben ein so großes Kapitel gewidmet, dass man sie sogar nach der Planimetrie, Stereometrie und der Praxis unterteilt hat.
Der darin enthaltenen Aufgabe mit einer Parabel und einem Rechteck (mit Abb.) brauchte ich nur ein Trapez zuordnen.

Aber man muss ja auch mal 5 gerade sein lassen (oder dürfen das Mathematiker nicht Very Happy ).
Denn,
anhand der Ausrechnung konnte man das ruhigen Gewissens annehmen.

So ist ist es mit den Beweisen in der Mathematik doch erst recht:
"Die Annahme, dass....führt zum Widerspruch..."

Wie dem auch sei, so habe ich mindestens eine Aufgabe als Komplettlösung für alle geliefert und konnte damit gleichzeitig mein Büchlein um die 1111. Aufgabe erweitern.

Gruß an dich Mathefan
Übrigens, der Nick,den du hast, der war für mich schon vergeben Crying or Very sad


Hallo Rechenschieber, wo bekommt man Dein Büchlein? Hast Du es selbst geschrieben?

Bin zwar über die Abi- und Studiumsaufgaben seit mehr als 25 Jahre darüber hinweg, aber immer noch Neugierig wie ein Kind! Smile
Rechenschieber
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Anmeldungsdatum: 06.10.2008
Beiträge: 1187
Wohnort: Dorsten (NRW)

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 03:53:13    Titel:

Dies Büchlein kann, will und darf ich gar nicht abgeben.
Ich bekam es mal von einem Freund und Ingenieur aus dem hohen Norden für mein Selbststudium. Und für seinen Sohn hat er sie extra nicht weggegeben, sondern mir nur zur Verfügung gestellt.
Sorry.
So etwas wäre auch unbezahlbar.
Daran gedacht, ein eigenes zu schreiben, habe ich schon lange, aber das kann dauern, bis ich die Tantiemen sehe... Very Happy
LGR
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