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Komplexes Integral?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Komplexes Integral?
 
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Jay23
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Anmeldungsdatum: 25.11.2006
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 27 Apr 2009 - 15:11:51    Titel: Komplexes Integral?

Hallo alle zusammen...bin mal wieder am Kopf zerbrechen Wink

Hab hier folgendene Aufgabe...

Bestimmen Sie den Wert des komplexen Integrals



C ist der im mathematisch positiven Sinne durchlaufende Kreis vom Radius r=2 um den Punkt z0=0.

Wie muss da ran gehen? Geht das mit der Cauchy-Integralformel? Und wenn ja kann mir jemand erklären wie!? Rolling Eyes
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 27 Apr 2009 - 15:55:30    Titel: Ja,

der "Punkt" [; a = \sqrt{\pi} ;] der Gauss-Ebene befindet sich für [; r = 2 ;] innerhalb des [; |z-0| \le r ;] geschlossenen, den Punkt einmal positiv umwindenden Integrationspfades [; C ;].
Deshalb darf die Zauberformel [; \underl{f(a) \ = \ \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \mathrm{i}} \cdot \int_{C} \frac{f(z)}{z-a} \cdot \mathrm{d} z} ;] angewendet werden.

Multiplikation mit dem Faktor [; 2 \cdot \pi \cdot \mathrm{i} ;] und Seitenwechsel ergeben die allgemeine Antwort [; \int_{C} \frac{f(z)}{z-a} \cdot \mathrm{d} z \ = \ 2 \cdot \pi \cdot \mathrm{i} \cdot f(a) ;].

Versuch einer Illustration, ohne Anspruch auf formale Korrektheit: Der geschlossene Integrations-Pfad der Integrationsvariablen erzeugt dennoch (obschon geschlossen) zusammen mit der speziellen Stammfunktion [; \mathrm{ln}(z-a) ;] (des reziproken Nenners) für jede Umwindung der Nenner-Nullstelle [; a ;] einen imaginären beitragenden Faktor [; 2 \cdot \pi \cdot \mathrm{i} ;]. Näheres zu Beweisen ist z. B. hier zu finden.

Werden die gegebenen [; a = \sqrt{\pi} ;] und [; f(z) = cos(z^2) ;] eingesetzt, folgt [; \int_{C} \frac{cos(z^2)}{z-\sqrt{\pi}} \cdot \mathrm{d} z \ = \ 2 \cdot \pi \cdot \overbrace{cos(\pi)}^{-1} \ = \ \underl{-2 \cdot \pi \cdot \mathrm{i}} ;].

EDIT [04-28 20:16]: Nachdem sich die verschiedenen Anstürme auf die endlichen Ressourcen des Server vorübergehend gelegt hatten, war es möglich, diesen Text zu editieren, zu ergänzen und im Interesse der Nachvollziehbarkeit verständlicher darzustellen.
Die aktuell auftretenden Performance-Engpässe können gemäss der Nachfrage auch als Indikator für die Qualitiät einiger Inhalte dieses Forums verstanden werden Very Happy .


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 28 Apr 2009 - 22:17:57, insgesamt 31-mal bearbeitet
Jay23
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Anmeldungsdatum: 25.11.2006
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 27 Apr 2009 - 16:07:26    Titel:

Also habe das jetzt mal versucht auf die Form von der Cauchy-Integralformel zu bekommen...



Somit wäre wenn die Integralformel so hier ist...



Mein z=(Wurzel(Pi)) und mein Phi = z und f(Phi)=cos(z^2)

Aber was passiert jetzt bei dem j-Term?
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 27 Apr 2009 - 16:18:29    Titel: a->z, z ->Phi...

° f(φ) = cos (φ²)
° j () = Anzahl Windungen, hier 1
° Den Teil rechts des "=" kann ich so nicht nachvollziehn, rechts fehlt was.

° Der Server ist Shocked Crying or Very sad
Jay23
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Anmeldungsdatum: 25.11.2006
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 27 Apr 2009 - 17:09:44    Titel:

Was fehlt denn??

Also ist das nicht nur bei mir so das ich ewig brauch um was zu verfassen...Naja Server halt Wink
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 27 Apr 2009 - 21:31:48    Titel: nochmals wegen a, z, und Phi

In einem zufälligerweise angetroffenen antiquarischen Werke unbekannter Provenienz war beispielsweise die (noch um +-Π zu rotierende) Darstellungsformel zu finden. Very Happy
Jay23
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Anmeldungsdatum: 25.11.2006
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2009 - 10:24:22    Titel:

Also mein Ergebnis für die Aufgabe wäre dieses hier...

2*Pi*i * 1 * cos((sqrt(Pi))^2) = -2*P*i ?? Stimmt das so?
Rolling Eyes
Jay23
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Anmeldungsdatum: 25.11.2006
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 13 Mai 2009 - 13:05:38    Titel:

Ich muss jetzt nochmal fragen...hab es zwar soweit kapiert wie ich es machen muesste aber jetzt kommt das hier...

[;\int_{C} \mathrm \frac{e^z} {z^2-1}\,\mathrm dz;] so dieses habe ich jetzt mittels Partialbruchzerlegung in diese Form hier gebracht...

[;\frac{-1} {2} \int_{C} \mathrm \frac{e^z} {z+1}\, \mathrm dz + \frac{1} {2} \int_{C} \mathrm \frac{e^z} {z-1}\, \mathrm dz;]

Nun habe ich diese drei Aufgabenstellungen dazu...
(a) |z-0|=1/2
(b) |z-0|=2
(c) |z-1|=3

So fuer (a) wuerde das bedeuten der Mittelpunkt des Kreises liegt bei 0 und r=1/2, somit ist das Integral 0, da sich die Punke 1 und -1 nicht im Kresi befinden.

Bei(b) und (c) kann man das Integral bestimmen, da sich 1 und -1 in dem Kreis befinden...das Integral muesste dann dieses ergeben... [;=-\Pi * i * (e^{-1} + e^1);] ...ist das soweit ok??
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2009 - 12:43:29    Titel: Einverstanden...

...bis auf ein Vorzeichen. Ich hab 2·π·i·sinh(1).
Jay23
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Anmeldungsdatum: 25.11.2006
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2009 - 13:22:52    Titel:

Hi...hab noch mal nachgerechnet...hab es jetzt auch wie du...danke!!
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