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Eindeutigkeit Euklidischer Divisionsalgo' in Polynomringen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Eindeutigkeit Euklidischer Divisionsalgo' in Polynomringen
 
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mathe_n00b
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Anmeldungsdatum: 13.07.2009
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2009 - 20:19:00    Titel: Eindeutigkeit Euklidischer Divisionsalgo' in Polynomringen

Hiho,

Ich soll zeigen, dass der Euklidische Divisionsalgo im K[x] ein eindeutiges Ergebnis liefert

(formal:

"Es seien a(x), b(x), q1 (x), q2 (x), r1 (x), r2 (x) ∈ K[x] Polynome, b(x) != 0 und deg(r1(x)) < deg(b(x)), deg(r2 (x)) < deg(b(x)).
Weiterhin gelte
a(x) = q1 (x) * b(x) + r1 (x) und a(x) = q2 (x) * b(x) + r2 (x).
Zeigen Sie: r1 (x) = r2 (x) und q1 (x) = q2 (x)."
)

Mein Ansatz wäre über Gradüberlegungen; ich habe auch schon zeigen können, dass deg(q1(x)) = deg(q2(x))
Sowie, wenn q1(x) = q2(x) = 0 dann auch deg(r1(x)) = deg(r2(x))
Aber jetzt komme ich irgendwie nicht weiter -.-
Über hilfe (iE einen kleinen Denkanstoß) würde ich mich sehr freuen Wink

Hier meinen bisherigen Ansätze:

Aus
a(x) = q1 (x) * b(x) + r1 (x) und a(x) = q2 (x) * b(x) + r2 (x)
folgt
q1 (x) * b(x) + r1 (x) = q2 (x) * b(x) + r2 (x)
und somit
deg( q1 (x) * b(x) + r1 (x) ) = deg( q2 (x) * b(x) + r2 (x) )
-->
max( deg(q1(x) * b(x)), deg(r1(x) ) = max( deg(q2(x) * b(x)), deg(r2(x) )
-->
max( deg(q1(x)) + deg(b(x)), deg(r1(x) ) = max( deg(q2(x)) + deg(b(x)), deg(r2(x) ) [1]

Fallunterscheidung, Fall1: q1(x) != 0 != q2(x)
-->
deg(q1(x)) + deg(b(x)) > deg b(x)) > deg(r1(x)) und deg(q2(x)) + deg(b(x)) > deg b(x)) > deg(r2(x))
-[1]->
deg(q1(x)) + deg(b(x)) = deg(q2(x)) + deg(b(x))
-->
deg(q1(x)) = deg(q2(x))

Fall2: q1(x) = 0
-->
max( deg(q1(x)) + deg(b(x)), deg(r1(x) ) = max(-unendlich, deg(r1(x)) = deg(r1(x))
-->
deg(b(x)) > max( deg(q2(x)) + deg(b(x)), deg(r2(x) )
-->
deg(q2(x)) < -deg(b(x))
-->
deg(q2(x)) = -unendlich
-->
q2(x) = 0 sowie max( deg(q2(x)) + deg(b(x)), deg(r2(x) ) = deg(r2(x))
-->
deg(r1(x)) = deg(r2(x))

Nur jetzt weiß ich nicht mehr weiter Sad


Zuletzt bearbeitet von mathe_n00b am 13 Jul 2009 - 22:00:43, insgesamt einmal bearbeitet
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2009 - 20:43:18    Titel:

Ich blicke ich nicht durch, nehme aber mal an du hast es ernsthaft versucht und nicht nur einfach irgendwas hingeschrieben...

Gegeben: a,b; gesucht r,q so dass a = qb + r, 0 <= deg(r) < deg(q).
Aufschreiben, alles mit q & b auf eine Seite, auf die andere r, ausklammern, deg unter Subtraktion und Multiplikation betrachten, fertig.

sD.
mathe_n00b
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Anmeldungsdatum: 13.07.2009
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2009 - 21:59:39    Titel:

Zitat:
gesucht r,q so dass a = qb + r, 0 <= deg(r) < deg(q).

Nein. Weder ist gegeben, dass r(x) != 0 oder q(x) != 0 noch ist gegeben, dass deg(r(x) < deg (q(x)).
Durch deine Umformungen komme ich auf

( q1(x) - q2(x) ) * b(x) = r1(x) - r2(x)
-->
deg( ( q1(x) - q2(x) ) * b(x) ) = deg( r1(x) - r2(x) )
-->
max( deg(q1(x)), deg(q2(x)) ) + deg( b(x) ) <= deg( ( q1(x) - q2(x) ) + deg( b(x) ) = deg( r1(x) - r2(x) ) >= max( deg(r1(x)), deg(r2(x)) )

Inwiefern hilft mir das jetzt?
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2009 - 22:21:34    Titel:

mathe_n00b hat folgendes geschrieben:
Zitat:
gesucht r,q so dass a = qb + r, 0 <= deg(r) < deg(q).

Nein. Weder ist gegeben, dass r(x) != 0 oder q(x) != 0 noch ist gegeben, dass deg(r(x) < deg (q(x)).


Ersteres habe ich nicht behauptet, letzteres ist ein Tippfehler, pardon. Um die Lesbarkeit zu erhöhen würde ich das (x) weglassen...

deg(q - q') + deg(b) <= max(deg(r,r')) < deg(b).

Was kannst du jetzt für deg(q - q') sagen?

sD.

Edit: Unter Umständen habt ihr deg(0) = -inf definiert aber eigentlich hat 0 einen "beliebigen deg". Wenn dich das stört, ignoriere diesen Absatz und fühle dich völlig korrekt mit deinem .. != 0 Hinweis.
mathe_n00b
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Anmeldungsdatum: 13.07.2009
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2009 - 23:01:11    Titel:

Jup, danke; das war mein Problem.
Jetzt ist der Rest kein Problem mehr.
Danke noch mal für deine Hilfe.

PS: Wir haben in der Tat deg(0) := -unendlich definiert; sonst ergäbe dein "deg unter Subtraktion und Multiplikation" auch wenig Sinn Wink
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