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Zählproblem Mastermind oder Zahlenschloss
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schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
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BeitragVerfasst am: 17 Jul 2009 - 14:07:05    Titel: Zählproblem Mastermind oder Zahlenschloss

Hi
Ich möchte die Kombinationsmöglichkeiten beim Spiel Mastermind, oder auch Superhirn genannt, berechnen um zu ermitteln welcher Kombinationstyp für den Codierer der günstigste ist. Das schöne ist, Niemand braucht dafür das Spiel zu kennen. Kombinatorisch betrachtet sind nämlich ein Zahlenschloss und Mastermind identisch.

Die Summe aller Kombinationsmöglichkeiten bei einem Zahlenschloss mit 4 Rädern, mit den Zahlen von 1-6, beträgt 6^4=1296 .
Nun möchte ich diese Summe in ihre Summanden zerlegen um herauszufinden welcher Kombinationstyp wie oft vorkommt.

Typ1: alle Zahlen sind verschieden
Typ2: zwei Zahlen sind gleich und die beiden anderen Zahlen untereinander verschieden
Typ3: zwei verschiedene Zahlenpaare
Typ4: drei gleiche Zahlen
Typ5: vier gleiche Zahlen

Meine bisherigen Berechnungen:
Typ1: (6über4)*4!=6!/2!=360 Kombinationsmöglichkeiten
Typ2: 6*(4über2)*5*4=720
Typ3: 6*(4über2)*5=180
Typ4: 6*(4über3)*5=120
Typ5: =6

macht insgesamt 1386 Kombinationsmöglichkeiten, 90 zuviel. Ich hatte schon einen Rechenfehler ausgemerzt, aber nun finde ich keinen mehr. Ich vermute den Fehler bei Typ2 oder Typ3, kann aber bisher nichts finden. Wer sieht das was ich nicht seh?
Mindworm
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Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2009 - 18:03:42    Titel:

Dein Typ 3 zählt alles doppelt, weil zuerst die 5 und dann die 3 auswählen dasselbe ist wie erst die 3 und dann die 5 auswählen (und halt passend anordnen). (6 über 2)*(4 über 2) ist die richtige Rechnung. Dann passt alles.
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1220
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BeitragVerfasst am: 17 Jul 2009 - 19:53:45    Titel:

Danke, manchmal sieht man den Teich vor lauter Karpfen nicht
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
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BeitragVerfasst am: 18 Jul 2009 - 14:41:24    Titel: Re: Zählproblem Mastermind oder Zahlenschloss

schwanzbartkiller hat folgendes geschrieben:
Die Summe aller Kombinationsmöglichkeiten bei einem Zahlenschloss mit 4 Rädern, mit den Zahlen von 1-6, beträgt 6^4=1296 .


Liegt nicht hier schon das Problem?, denn du sprichst von Kombinationen, jedoch bestimmst du mit 6^4 die Anzahl aller Variationen
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
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BeitragVerfasst am: 18 Jul 2009 - 14:55:07    Titel: Re: Zählproblem Mastermind oder Zahlenschloss

M45T4 hat folgendes geschrieben:
schwanzbartkiller hat folgendes geschrieben:
Die Summe aller Kombinationsmöglichkeiten bei einem Zahlenschloss mit 4 Rädern, mit den Zahlen von 1-6, beträgt 6^4=1296 .


Liegt nicht hier schon das Problem?, denn du sprichst von Kombinationen, jedoch bestimmst du mit 6^4 die Anzahl aller Variationen


Ich seh da kein Problem. 6^4 entspricht allen möglichen Kombinationen. Mich interessiert aus welchen Kombinationstypen sich diese 1296 Möglichkeiten zusammensetzen, und wieviele Kombinationen jeder Typ hat.

Der Fehler den ich gemacht hatte ist bereits geklärt, alles andere meiner Rechnung ist korrekt gewesen.

Ansonsten existiert hier in meinen Augen kein Problem.
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
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BeitragVerfasst am: 18 Jul 2009 - 15:00:22    Titel:

Naja, 1212 ist dieselbe Kombination wie 1122, wird in deiner Rechnung aber nicht unterschieden
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
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BeitragVerfasst am: 18 Jul 2009 - 15:19:18    Titel:

M45T4 hat folgendes geschrieben:
Naja, 1212 ist dieselbe Kombination wie 1122, wird in deiner Rechnung aber nicht unterschieden


mh, ich glaube du meinst "1212 ist nicht dieselbe Kombination wie 1122" oder?

Denn es wird hier ja die Reihenfolge berücksichtigt. Doch das tue ich bei Typ3, schau ganz genau hin.Ich habe erst sogar zuviel gezählt, übersehen dass 1122 das gleiche ist wie 2211 da die binomiale Verteilung zu demselben Ergebnis führt.
Mindworm
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Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 19 Jul 2009 - 13:18:04    Titel:

Zitat:


mh, ich glaube du meinst "1212 ist nicht dieselbe Kombination wie 1122" oder?

Masta ist lediglich verwirrt, weil du den falschen Begriff verwendet hast. Streng genommen müsste es "Variation" heißen. Das ist eine sprachliche Ungenauigkeit, weiter nichts.
Zitat:


Denn es wird hier ja die Reihenfolge berücksichtigt. Doch das tue ich bei Typ3, schau ganz genau hin.Ich habe erst sogar zuviel gezählt, übersehen dass 1122 das gleiche ist wie 2211 da die binomiale Verteilung zu demselben Ergebnis führt.

Das war nicht der Fehler. 1122 und 2211 werden schon unterschieden (wenn die Leserichtung unberücksichtigt bleiben soll, muss man es anders rechnen).
Der Fehler war, dass 1122 auf zwei Arten erzeugt werden konnte. Zuerst die 1 auswählen und auf die ersten beiden Stellen legen, dann die 2 auswählen und auf die verbleibenden Stellen legen. Oder erst die 2 auswählen und auf die letzten beiden Stellen legen und dann die 1 usw.
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
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BeitragVerfasst am: 19 Jul 2009 - 14:41:21    Titel:

Okay, so wie ich das verstehe wird bei einer Kombination die Reihenfolge nicht berücksichtigt im Gegensatz zur Variation. Ich suche also in diesem Fall die Variationen der Kombinationen der 4ten Klasse aus 6 verschiedenen Elementen, bzw. die der Kombinationstypen.


Zu Typ3:
Ich betrachte das nur anders:

Ob das erste Zahlenpaar 11 und das zweite Zahlenpaar 22, oder das erste Zahlenpaar 22 und das zweite 11 ist, ist aufgrund der Binomialverteilung mit 4über2 gleich:

1122 , 1212, 1221 , 2121 , 2211 , 2112

Daher tauchen alle Kombinationen aus 6*(4über2)*5 doppelt auf, wobei der Faktor "6" das erste (oder vorrangige) Zahlenpaar beschreibt und der Faktor "5" das nachrangige. Also ist die Division mit 2 notwendig.
schwanzbartkiller
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Beiträge: 1220
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BeitragVerfasst am: 19 Jul 2009 - 21:20:08    Titel:

Oder, das entspricht auch deiner Rechung, man folgert:

Es gibt (6über2) Kombinationen mit je zwei verschiedenen Zahlenpaaren. Diese Kombinationen werden jeweils mit (4über2) variiert, also (6über2)*(4über2)=90

So ist es eleganter.

Danke für die Diskussion die auch die Terminologie bei mir so wie ich das sehe angefrischt hat.
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