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Übertragungsfunktion 2. Ordnung
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Gruwe
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Anmeldungsdatum: 24.03.2004
Beiträge: 5286
Wohnort: Saarbrücken

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2009 - 12:41:42    Titel: Übertragungsfunktion 2. Ordnung

Hallo,

ich bereite mich gerade auf die Klausur in Systemtheorie vor.
In einer Übungsaufgabe soll ich erstmal die Übertragungsfunktion einer Schaltung aufstellen, das hab ich getan und es ist auch richtig. Sie lautet:

G(s) = (1/LC+s²) / (s² + sR/L + 1/LC)

Soweit, so gut.

So, nun soll ich den Dämpfungsgrad, sowie auch w0 bestimmen.

Ich weiß, dass das konstante Glied im Nenner = w0² ist, demzufolge müsste mein w0 = sqrt(1/LC) sein.

Den Rest kann ich äquivalent berechnen, am Ende erhalte ich als Dämpfungszahl D = R/2 * sqrt(C/L).

Nur frage ich mich, ob ich das einfach so machen darf?
Denn im Zähler hab ich ja auch noch einen komplexen Ausdruck, der muss doch auch irgendwie eine Rolle spielen. Oder ist dem nicht so?

Wäre toll, wenn mir da mal jemand aufzeigen könnte, wie ich den Zählerterm berücksichtige! Smile


MfG
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2009 - 09:10:38    Titel: Polynomdivision

Aus der gegebenen Übertragungsfunktion [; G(s) = \frac{s^2+\frac{1}{L\cdot C}}{s^2+\frac{R}{L}\cdot s+ \frac{1}{L\cdot C} ;] folgt mit [; \omega_0 \ := \sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} ;] und [; d \ := \frac{1}{2}\cdot\frac{R}{L} ;] die Darstellung [; G(s) = \frac{s^2+\omega_0^2}{s^2 + 2 \cdot \underbrace{d}_{D \cdot \omega_0} \cdot s + \omega_0^2} ;].
Polynomdivision macht daraus [; G(s) = 1 -\frac{2 \cdot d \cdot s }{s^2 + 2 \cdot d \cdot s + \omega_0^2} ;].

Es wird hinreichend schwache Dämpfung [; d \lt \omega_0 ;] angenommen.
Hier könnte für den echt gebrochenen Term mit Hilfe des konjugiert komplexen Nenner-Nullstellenpaars [; s_{1,2} \ = \ -d \ \pm \mathrm{i}\cdot \overbrace{\sqrt{\omega_0^2-d^2}}^{\omega} ;] eine PBZ durchgeführt werden,
aber wegen dem Dämpfungssatz bietet sich eine andere Möglichkeit mit dem Ansatz [; -\frac{2 \cdot d \cdot s }{s^2 + 2 \cdot d \cdot s + \omega_0^2} \ = \ -\frac{A \cdot (s+d) + B \cdot \overbrace{\sqrt{\omega_0^2-d^2}}^{\omega}}{(s+d)^2 + \underbrace{\omega_0^2-d^2}_{\omega^2}} ;] an,
wobei der Nenner mittels quadratischer Ergänzung umgeformt wurde.
Beim Zähler ergibt Koeffizientenvergleich zunächst [; A \ = \ 2 \cdot d ;] und damit [; B \ = \ -\frac{2 \cdot d^2}{\omega} ;].

Mit den Korrespondenzen [; 1 \ \bullet-\circ \ \delta(t) ;] (Dirac-Impuls), [; \frac{s}{s^2 + \omega^2}\ \bullet-\circ \ cos(\omega \cdot t);] und [; \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \ \bullet-\circ \ sin(\omega\cdot t) ;] sowie Linearität und dem Dämpfungssatz [; F(s+d) \ \bullet-\circ \ \mathrm{e}^{-d\cdot t} \ \cdot f(t) ;]
folgt die Impuls-Antwort [; g(t) \ = \ \delta(t) + \mathrm{e}^{-d \cdot t} \cdot [ -2 \cdot d \cdot cos (\omega \cdot t) +\frac{2 \cdot d^2}{\omega} \cdot sin(\omega \cdot t)] ;], welche sich aus dem Eingangs-Einheits-Impuls [; \delta(t) ;] und der exponentiell abklingenden harmonischen Schwingung [;-2\cdot d\cdot \frac{\omega_0}{\omega} \cdot cos (\omega \cdot t + \mathrm{atan}(\frac{d}{\omega})) \ \cdot\mathrm{e}^{-d\cdot t} ;] zusammensetzt, wobei deren Kennwerte, wie Gruwe voraussagte, hier nur vom Nenner der Übertragungsfunktion abhängen.
W.Kaiser
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Anmeldungsdatum: 09.01.2006
Beiträge: 1623
Wohnort: BGL

BeitragVerfasst am: 19 Aug 2009 - 22:24:49    Titel:

Zu „Wäre toll, wenn mir da mal jemand aufzeigen könnte, wie ich den Zählerterm berücksichtige!“ fällt mir noch ein:

Man muss wissen wie das Zählerpolynom entsteht.

U2/U0 = G(s) = (1/LC+s²) / (s² + sR/L + 1/LC)



Die Wirkungs- oder Übertragungsfunktion G(s) eines passiven LRC- Vierpols bewirkt:

U2 = U0 * G(s)

Die Ausgangsspannung U2 des VP entspricht der Eingangsspannung U0 multipliziert mit dem Faktor G(s). Also aus einer Spannung wird eine andere Spannung. Das G(s) hat damit die Funktion eines simplen Spannungsteilers, der, wenn er L oder C enthält, frequenzabhängig wirkt.

Wenn du folgende Reihenschaltung U0-R-L-C-U0 betrachtest, so fließt als Strom: I=U0/(R+ZL+ZC)

Wenn du dabei dann die Spannung U2 über den Bauteilen L-C wissen willst, folgt: U2=I*(ZL+ZC)


Zusammen gibt es:
U2=U0*(ZL+ZC) / (R+ZL+ZC)= U0*(1/LC+s²) / (s² + sR/L + 1/LC)

Erkennen muss man nun, dass es dieselben Bauteile sind, die da in Zähler und Nenner auftreten und dass das Verhalten des Stromkreises durch die Bauteile im Nennerpolynom vollständig beschrieben ist, siehe Strom I.
Diese Aussage gilt auch, wenn das Netzwerk des VP mit Matrizen beschrieben wird.

Wenn du also Werte wie w0 und das D ausrechnest, deren Bildungsregeln das Nennerpolynom verwenden, dann ist das schon richtig. Beide sind Größen des Einschwingvorgangs des Stromes beim Schaltvorgang oder anders formuliert, des homogenen Teils der DGL, die den beschreibt. Und das Nennerpolynom entspricht diesem homogenen Teil.

Welche Filtereigenschaft entsteht, wenn bei diesem Stromkreis U0-R-L-C-U0 die Spannung über L-C gemessen wird?


Mit freundlichen Grüßen

W. Kaiser


Zuletzt bearbeitet von W.Kaiser am 20 Aug 2009 - 14:07:40, insgesamt einmal bearbeitet
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2009 - 10:48:18    Titel: G(s) aus Ketten-4Pol-Matrix.

W.Kaisers Beitrag kann bezüglich Vierpolen noch die folgende Anwendung als Beispiel hinzugefügt werden.

Sei [; A ;] die (Bildbereich-) Kettenmatrix eines sekundärseitig leerlaufenden ([; I_2(s) = 0 \mathrm{A}\cdot\mathrm{s};]) Vierpols, dann lauten die Kettengleichungen in Matrix-Form
[; \begin{bmatrix}U_1(s)\\I_1(s)\end{bmatrix} \ = \ \overbrace{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}^{A}
\cdot \begin{bmatrix}U_2(s)\\0 \mathrm{A}\cdot\mathrm{s}\end{bmatrix} ;].
Der ersten Zeile ist die Gleichung [; U_1(s) = a_{11} \cdot U_2(s) ;] und damit die Übertragungsfunktion [; G(s) = \frac{U_2(s)}{U_1(s)} = \frac{1}{a_{11}} ;] zu entnehmen.

Sind nun [; A_1 ;] die Kettenmatrix für einen Längswiderstand [; R ;] und [; A_2 ;] die Kettenmatrix für eine Quer-Serie [; L ;]-[; C ;],
dann ist das Matrix-Produkt [; A \ = \ \overbrace{\underbrace{\begin{bmatrix}1&R \\ 0&1\end{bmatrix}}_{A_1} \cdot \underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\ \frac{1}{s \cdot L + \frac{1}{s \cdot C}}&1\end{bmatrix}}_{A_2}}^{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}} ;] die Kettenmatrix des verketteten Vierpols, woraus hier nur der Parameter [; a_{11} = 1 +\frac{R}{s \cdot L + \frac{1}{s \cdot C}} ;] benötigt wird.

Die Übertragungsfunktion ist dessen Reziprokwert [; G(s) \ = \frac{1}{a_{11}} \ = \frac{s^2+\frac{1}{L \cdot C}}{s^2 + s \cdot \frac{R}{L} + \frac{1}{L \cdot C}} ;].
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