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Symmetrische Matrix durch Eigenwerte und Eigenvektoren?
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tumanage
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Anmeldungsdatum: 06.10.2009
Beiträge: 142

BeitragVerfasst am: 06 Okt 2009 - 22:06:52    Titel: Symmetrische Matrix durch Eigenwerte und Eigenvektoren?



Für die Berechnung des letzten Eigenvektors benötige ich ja die Symmetrische Matrix, die ich jedoch nicht ausgerechnet bekomme ...

Mit den gegebenen Angaben lassen sich verschiedene Gleichungssysteme herstellen, die jedoch zu keinem Ergebnis führen...

sprich Matrix mal Eigenvektor = Eigenwert mal Eigenvektor

Habe eine Matrix mit folgenden Variablen raus

M = |a 2c c |
|2c x -2c |
|c -2c a |

und dabei ist a+c = 1 und 4c + x =1

Kann mir jemand schnell bei dieser Aufgabe weiter helfen?

Danke im Voraus
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 06 Okt 2009 - 22:23:17    Titel:

Hattet ihr bereits den Satz, dass eine symmetrische Matrix orthogonal diagonalisierbar ist? Finde ein Erzeugendensystem für das orthogonale Komplement von span(v1, v2), dann kommst du zum Ziel Wink
tumanage
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Anmeldungsdatum: 06.10.2009
Beiträge: 142

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2009 - 09:39:37    Titel:

danke für die Antwort, aber ehrlich gesagt, komme ich damit auch nicht weiter...

Man bildet also eine Transformationsmatrix mit den Eigenvektoren und nennt die letzte Spalte x, y, z und multipliziert sie mit der oben genannten Matrix M und diese wiederum mit der Inverse der Transformationsmatrix. Ergebnis soll demnach ein Spaltenvektor mit den Eigenwerten sein...

Komme trotzdem auf kein Ergebnis ...
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2009 - 19:46:24    Titel:

Nein, das brauchst du nicht zu machen. Es gibt einen Satz aus der linearen Algebra, welcher besagt, dass zu einer symmetrischen Matrix stets eine orthonormalbasis aus Eigenvektoren exisitert - bestimmt einen Vektor, dass (v1, v2, v3) eine ONB für IR³ ist.
tumanage
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Anmeldungsdatum: 06.10.2009
Beiträge: 142

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2010 - 22:03:09    Titel:

Um den 3. Vektor zu bestimmen, und wie du sagst die drei Vektoren eine ONB aufspannen, jeder Vektor zunächst die Länge 1 haben bevor ich diese auf Linear Unabhängigkeit prüfe, um den fehlenden Vektor zu bestimmen?

1 1 a | 0
0 1 b | 0
1 -1 c | 0

Ist Vorgehen richtig ?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 11 Jan 2010 - 22:22:16    Titel:

Dieses Vorgehen sieht eher aus wie wildes rumgerate, als wie eine durchdachte Rechnung...


Schau dir meine Posts doch mal genau an, da wird dir doch schon gesagt was für einen vektor du finden musst.
tumanage
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Anmeldungsdatum: 06.10.2009
Beiträge: 142

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2010 - 22:28:24    Titel:

was ist denn daran nicht durchdacht ?

Wenn die 3 Vektoren eine ONB aufspannen, müssen alle 3 Eigenvektoren linear unabhängig sein und die Länge 1 haben.

Somit wäre doch eine logische Schlussfolgerung, diese mit einem LGS = 0 zu setzen und versuchen die Variablen rauszufinden.


Ansonsten weiss ich nicht, wie das gehen soll.
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2010 - 22:36:57    Titel:

Das wichtigste dabei ist dass die drei Vektoren orthogonal zueinander stehen. Aus der Schule sollte dir ein Verfahren bekannt sein, mit welchem du zu zwei Vektoren einen dritten finden kannst, der orthogonal auf diesen steht.
tumanage
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Anmeldungsdatum: 06.10.2009
Beiträge: 142

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2010 - 22:43:59    Titel:

jetzt einfach das Kreuzprodukt ?

Muss ich aber vorher noch die Vektoren auf die Lönge 1 bringen oder wegen der ONB ?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2010 - 22:51:07    Titel:

Damit erhältst du ein ONS, dies kannst du durch Normaierung dann noch zu einer ONB machen. Ist aber garnicht nötig.
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