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Beweis zu Orthogonalität
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Strothmann
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Anmeldungsdatum: 01.03.2009
Beiträge: 10
Wohnort: Braunschweig

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 22:50:05    Titel: Beweis zu Orthogonalität

hi,
ich möchte versuchen im folgenden versuchen, einen Beweis zu der Orthogonalität zweier Gerade zu erbringen. Zwar bin nach einigen Mühen endlich zu einem Ergebniss gekommen, stehe dem aber sogare selber etwas spkeptisch gegenüber. Vielleicht könnte sich hier das ganze mal zu gemüte führen, was mir wirklich helfen würde. danke

nun zum Beweis

Behauptung:

Wenn der Abstand d(x) eines Punktes P zu dem Graphen einer beliebiegen Funktion f(x) etremal ist, dann folgt,
dass die Strecke PE durch den 1.Punkt P und den 2.Punkt E des extremalen Abstandes orthogonal zu f´(xe) sei,
d.h. zu der Tangente der Funktion am besagten Etremalpunt E(xe/ye)

zu zeigen ist also, dass f´(xe) = -1/ mg
(mg: steigung der der gerade g, welche v* PE sein)


1)
1.1) P (xo/yo)
1.2) E (xe(ye)
1.3) PE = d(x) = wurzel aus((xe+xo)² + (ye-yo)²)
- (nach Pythagoras: c²=b² + a²)

Dadurch, dass wenn die Hypothenuse c extremal sei, damit auch die Katheten extremal seien, sagen wir
1.4) d(x)² = D(x)

D(x) = (xe-xo)² + (ye-yo)²

durch ableiten erhalten wir:

D´(x) = 2(xe-xo) + 2(ye-yo)

und da es sich um ein Etremum handelt: D´(x) = 0

0 = (xe-xo) + (ye-yo)

durch umformen:

(xe-xo) = (yo-ye)


2)

zurück zu der Orthogonaltität.
Wir übertragen in die Analytische Geometrie und geben f´(xe) sowie mg als Richtungsvektoren ihrer Geraden an:

mg (analog) b(pfeil) = ( xe - xo )
( ye - yo )

f´(xe) (analog) a(pfeil) = lim ( x - xe )
x(gegen)xo ( y - yo )



3)

da wir nachwievor bahaupten, dass wenn a(pfeil) orthogonal zu b(pfeil) ist, sei das skalarprodukt der beiden = 0,
d.h. a(pfeil) * b(pfeil) = 0 ( herleitung hirrvon spare ich mir an der stelle)

es folgt:

0 = lim (xe-xo)*(x-xe) + (ye-yo)*(y-ye)
x(gegen)xe


!!!!!!!!!!!!! hier aufgepasst, denn hier ist mein Problem!

ich will nun weiterumformen, so dass:

lim (xe-xo)*(x-xe) = (yo-ye)*(ye-y)
x(g.)xe

nun lasse ich x gegen xe sein und es sei(???) (x-xe)=0 und (ye-y)=0

wir erhalten (0)(xe-xo)=(0)(yo-ye) an dieser Stelle ignoriere ich die 0^^

und wäre damit wieder bei D´(x), womit der Beweis abgeschlossen wäre.



Mein Problem bezoieht sich natürlich auf den lim bezogen. Kann mir da bitte wer weiterhelfen. ist sehr wichtig für mich, weil ich den beweis dienstag vorstellen soll.
Habe ne Wette mit meiner Mathelehrerin am laufen;)
DANKE
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