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Ableitungsmatrix der Polynome
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Nolsi
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Anmeldungsdatum: 21.02.2009
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2009 - 17:47:13    Titel: Ableitungsmatrix der Polynome

Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe:

Sei Un der Vektorraum der reellen Polynome vom grad <=n.

Lineare Abbildung f: Un-->Un gegeben durch f(p)=p'.

Bestimmen Sie die Matrix von f bzw. der Basis {1,t,t^2,...,t^n}


Also wenn das Bild des j-ten basisVektor in die i-te Spalte geschrieben werden soll, müsste diese Matrix doch folgende Form haben oder?

Lf,Un,Un = (0,1,2t,3t^2,....nt^n-1)

Liege ich damit richtig?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8244
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2009 - 18:03:26    Titel:

Ich kann aus
Zitat:
(0,1,2t,3t^2,....nt^n-1)
nicht erkennen, wie Deine Matrix aussehen soll.

Aber falsch ist es auf jeden Fall. Denn die t-Potenzen sind die Funktionen, die die Basis des Vektorraums bilden. In der Matrix tauchen nur Zahlen aus dem zum Vektorraum gehörenden Körper auf.

Gruß, mike
Nolsi
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Anmeldungsdatum: 21.02.2009
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2009 - 18:10:15    Titel:

Hab da einen Denkfehler!

Wenn die Bilder der Basisvektoren (also der Fkt) das Bild bilden, dann muss doch das Bild (also damit auch die Abbildungsmatrix) aus den abgeleiteten Basisvektoren bestehen oder? Müssten dann nicht also die abgeleiteten Fkt in der Abbildungsmatrix stehen?
Nolsi
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Anmeldungsdatum: 21.02.2009
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2009 - 18:23:32    Titel:

Bzw andere Idee!

Wenn man sich die Basis nstellig vorstellt, also aus n vektoren besteht!
Könnte man dann die Abbildungsmatrix so darstellen?

0000000000
010000
002000
000300
000040
000005
000000 und so weiter! also die Koeffizieten der Ableitungen!
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8244
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2009 - 18:25:34    Titel:

Nein.

Die Funktionen sind Vektoren zur Basis 1, t, t², t³, ...
Die Vektoren enthalten nur die Koeffizienten der Polynome!
Beispiel ist der n+1-komponentige Vektor (-1,9,-7,4,0,0,...,0).

Die Ableitung (.') ist eine lineare Abbildung in diesem Vektorraum, weil (f(t)+g(t))'=f'(t)+g'(t) und (a*f(t))'=a*f'(t) ist.
Sie muß also durch eine Matrix darstellbar sein.

Du suchst jetzt die Matrix, welche z. B. aus der Funktion f(t)=4t³-7t²+9t-1 die Funktion f'(t)=12t²-14t+9 macht.
Also aus dem Vektor (-1,9,-7,4,0,0,...,0) den Vektor (9,-14,12,0,0,...,0).

Gruß, mike

P.S.: Dein letzter Beitrag trifft es schon fast; allerdings wandelt diese Matrix z. B. t³ in 3t³ um und nicht in 3t².

mike
Nolsi
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Anmeldungsdatum: 21.02.2009
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 06 Dez 2009 - 18:30:25    Titel:

Alles klar danke!
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