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vektorräume linerare abhängigkeit
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kleenephysikerinberlin
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 64

BeitragVerfasst am: 17 Mai 2005 - 21:11:53    Titel: vektorräume linerare abhängigkeit

angenommen v1,........,vn sind linear unabhängige elemente eines R-vektorraums V. welche der folgenen mengen sind auch linear unabhängig?

a) v1, v1+v2, v1+v2+v3,....,v1+v2+v3+...+vn
b) v1+v2, v2+v3, ...., vn-1+vn, vn+v1
c) v1, v2+v2, v3+v3+v3,.....vn+vn+vn+...+vn

also ich weiß dass ich eine linear kombintion machen muß, hab ich auch, aber wie kann ich die umstellen damit ich sehen kann ob sie trivial ist? also aus der vorbidingung darf ja zum beispiel v1 oder v2 nicht 0 sein, also ist zum beispiel a) nur linear unabhängig wenn v1 ungleich -v2 usw. oder? aber wie kann ich das zeigen?
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2005 - 03:45:33    Titel:

Angenommen v_1,..,v_n sind linear unabhängige Elemente eines R-vektorraums V.
Dann gilt
d_1*v_1+d_2*v_2+..+d_n*v_n=0
<=>
d_1=d_2=..=d_n=0

Welche der folgenden Mengen sind auch linear unabhängig?

a) v_1, v_1+v_2, v_1+v_2+v_3,....,v_1+v_2+v_3+...+v_n
a_1*v_1+a_2*(v_1+v_2)+..+a_n*(v_1+v_2+..+v_n)=0
<=>
(a_1+a_2+..+a_n)*v_1+(a_2+a_3+..+a_n)*v_2+..+a_n*v_n=0
Nach Vorraussetzung gilt dann:
(a_1+a_2+..+a_n)=(a_2+a_3+..+a_n)=..=a_n=0
und speziell folgt aus a_n=0 und a_(n-1)+a_n=0, daß
a_(n-1)=0
und dann mit a_(n-2)+a_(n-1)+a_n=0, daß
a_(n-2)=0
usw.
Also gilt:
a_1*v_1+a_2*(v_1+v_2)+..+a_n*(v_1+v_2+..+v_n)=0
<=>
a_1=a_2=..=a_n=0
Demnach ist diese Menge linear unabhängig.

b) v_1+v_2, v_2+v_3,.., v_(n-1)+v_n, v_n+v_1
b_1*(v_1+v_2)+b_2*(v_2+v_3)+..+b_n*(v_n+v_1)=0
<=>
(b_n+b_1)*v_1+(b_1+b_2)*v2+..+(b_(n-1)+b_n)*v_n=0
Nach Voraussetzung folgt:
b_n+b_1=b_1+b_2=..=b_(n-1)+b_n=0

Aus b_2+b_3=b_3+b_4 folgt: b_2=b_4.
Aus b_4+b_5=b_5+b_6 folgt: b_4=b_6.
Usw. Also sind alle Koeffizienten mit geradem Index gleich.

Aus b_1+b_2=b_2+b_3 folgt: b_1=b_3.
Aus b_3+b_4=b_4+b_5 folgt: b_3=b_5.
Usw. Also sind alle Koeffizienten mit ungeradem Index gleich.

Aus b_n+b_1=b_1+b_2 folgt: b_n=b_2.
1. Fall: n ist ungerade
Für ungerades n folgt dann, daß alle Koeffizienten gleich sind.
Aus b_1+b_2=0 folgt: 2*b_2=0 und damit: Alle Koeffizienten sind Null.
Die Menge ist linear unabhängig.
2. Fall: n ist gerade
Aus b_1+b_2=0 folgt: b_1=(-b_2) und damit ist folgende Lösung möglich: Setze die Koeffizienten mit ungeradem Index auf (-1) udn die mit geradem Index auf 1. Dann ist die Nullgleichung erfüllt.
Also ist die Menge linear abhängig.

c) v_1, v_2+v_2, v_3+v_3+v_3,.....v_n+v_n+v_n+...+v_n
Die laß ich mal übrig zum Probieren. Sollte lineare Unabhängigkeit rauskommen.
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