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Grenzwert Sinus
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Sicisa
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Anmeldungsdatum: 24.09.2006
Beiträge: 150

BeitragVerfasst am: 19 Dez 2009 - 15:20:49    Titel: Grenzwert Sinus

Hi,
ich habe da ein kleines Problem mit einer Matheaufgabe:
Ich soll lim sin(5x)/x für x gegen 0 berechnen.
So habe ich die Aufgabe gelöst:
Ich multipliziere mit 5/5 und erhalte lim 5sin(5x)/5x <=> 5 lim sin(5x) / 5x
<=> 5 * 0 = 0
Dies soll aber falsch sein, weil lim sin(5x) / 5x = 1 sein soll und nicht 0.
Ich habe den Graphen mal gezeichnet und der Graph verläuft durch (0/0).
Kann mir jemand mal erklären wie ich da rechnen muss und wo ich meinen Fehler habe...

LG
Sicisa
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3151

BeitragVerfasst am: 19 Dez 2009 - 15:26:39    Titel:

Ich helfe Dir mal.

Wenn Du Dir einen Einheitskreiszeichnest, dann wirst Du zu folgener Ungleichung kommen:

sinx <= x <= tanx

Division durch sin(x)

1 <= x/sinx <= tanx/sinx

Kehrwerte bilden

1 >= sin/x >= sinx/tanx

sinx/tanx = cosx

1 >= sinx/x >= cosx

Für x gegen 0

1 >= sinx/x >= 1

Und somit sinx/x = 1
Sicisa
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Anmeldungsdatum: 24.09.2006
Beiträge: 150

BeitragVerfasst am: 19 Dez 2009 - 16:06:57    Titel:

also gilt allgemein:
lim sin(ax) / ax =1 für x gegen null und a ist eine positive Zahl
???????????????
Somit dann auch in meinem Fall:
lim sin(5x)5x =1 für x gegen null

Habe ich das so richtig verstanden?
Scythe
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Anmeldungsdatum: 10.11.2008
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 25 Dez 2009 - 22:03:26    Titel:

Ich könnte mich irren, aber ich würde da einfach L'Hospital anwenden, es ist auch erlaubt da es ja "0/0" ist.


lim sin (5x) / x

= lim 5*cos(5x) / 1 = 5

Wenn man sich die Zeichnung ansieht kann man auch erkennen das es gegen 5 läuft.
LeTigre
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Anmeldungsdatum: 08.01.2014
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2014 - 14:37:35    Titel:

Zitat:
Deniz
Wenn Du Dir einen Einheitskreiszeichnest, dann wirst Du zu folgener Ungleichung kommen:
sinx <= x <= tanx


Wieso das? Ich kann alle Deine Schritte nachvollziehen, aber der Initiale...

sei x = pi / 4 = 0,785398163
dann sind:
sin(x) = 0.013707355 < 0,78354 > tan(x) = 0.013708643

Ist Dir da ein Fehler unterlaufen, oder stehe ich auf der Leitung?

LG Tom
GvC
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Anmeldungsdatum: 16.02.2009
Beiträge: 3522

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2014 - 15:44:58    Titel:

LeTigre hat folgendes geschrieben:
Ist Dir da ein Fehler unterlaufen, oder stehe ich auf der Leitung?


Da ist offenbar Dir ein Fehler unterlaufen. Denn



Offensichtlich hast Du vergessen, den Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) umzustellen. Denn ist ein Winkel im Bogenmaß und nicht im Gradmaß.

Auch ohne diese Überlegungen sollte Dir klar sein, dass einen Winkel von 45° darstellt, denn eines weißt Du bestimmt, nämlich dass den Vollkreis, also einen Winkel von 360° darstellt.

Was Deniz Dir vorgeführt hat, ist in der Tat nichts anderes als die Herleitung der l'Hospital-Regel für diesen speziellen Fall, auf die Scythe bereits hingewiesen hat. Wenn Du die Ausführungen von Deniz für den Einheitskreis auf einen Kreis mit Radius a übertragen hättest, wärest Du auch für den Grenzwert von sin(ax)/(ax) auf das richtige Ergebnis gekommen.
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