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Fixpunkte und Fixgeraden ermitteln
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Bulle110112
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 17:45:25    Titel: Fixpunkte und Fixgeraden ermitteln

Hallo,

es gilt, folgende Aufgabe zu lösen:

Durch die Abbildungsgleichung x_1' = 2x_1 + x_2 und x_2' = x_1 ist eine Abbildung definiert. Bestimmen Sie die Fixpunkte und Fixgeraden.

Ein Fixpunkt liegt ja vor, wenn x_1 = x_1' und x_2 = x_2' ist.

Wenn ich mir die zweite Zeile der Abbildungsgleichung anschaue, erkenne ich, dass ich x_2' = x_1 in die erste Zeile für x_2 einsetzen kann, da ja x_2 = x_2' gelten muss.

Ich erhalte also x_1' = 2x_1 + x_1, durch Äquivalenzumformungen erhalte ich -2x_1 = 0, also hat die x1-Koordinate den Wert 0. Also muss die x2-Koordinate auch den Wert 0 haben, wenn man die zweite Zeile der Abbildungsgleichung betrachtet. Der Fixpunkt müsste demnach (0|0) lauten.

Sind diese Ausführungen richtig? Leider habe ich keine Idee, wie ich eine Fixgerade bestimmen soll.

Vielen Dank für eure Antworten!
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8202
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2010 - 23:47:50    Titel:

Ja, der Fixpunkt ist richtig.

Es gibt sogar zwei Figeraden, und die stehen auch noch senkrecht aufeinander. Wenn Du etwas über Eigenwerte und Eigenvektoren weißt, dann ist es einfach, die zu berechnen. Denn die Eigenvektoren markieren die Fixgeraden.

Sonst kannst Du aber auch davon Gebrauch machen, daß der Fixpunkt auf den Fixgeraden liegen muß (warum?). Daher gehen die Fixgeraden durch den Ursprung, und Du kannst ansetzen: Für alle Punkte auf einer Fixgeraden muß gelten x2=m*x1. Und das muß auch für das Bild von (x1|x2) gelten: x2'=m*x1'. Damit bekommst Du eine Gleicung, aus der Du m bestimmen kannst.

Gruß, mike
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2010 - 00:01:29    Titel:

.
Abbildung
x' = 2x + y
y' = x

Zitat:
Der Fixpunkt müsste demnach (0|0) lauten.

Sind diese Ausführungen richtig?

ja
Zitat:
Leider habe ich keine Idee, wie ich eine Fixgerade bestimmen soll.

bestimme die Eigenwerte der Abbildungsmatrix
und ermittle die zu diesen Eigenwerten gehörenden Geraden -->
Fixgeraden : (1 + √2 ) x + y = 0 und (1 - √2 ) x + y = 0
(ohne Gewähr Smile .. rechne also bitte selber nach)


PS mike war mal wieder schneller.. Cool
Bulle110112
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2010 - 20:59:00    Titel:

Vielen Dank für eure Antworten! Very Happy

Ich habe mich einmal über Eigenwerte und Eigenvektoren kundig gemacht und zeige euch mal die Schritte, die ich bisher geschafft habe.

Ich hänge meine Rechnungen als Bild an.



Wie soll ich mit diesen zwei Gleichungen am Ende umgehen? Ich muss ja einen Parameter setzen, damit bspw. eine Lösung in der Form wie t*Vektor aus 1 und 3 rauskommt. Möglicherweise ist mir ein Fehler unterlaufen.

Nochmals danke für eure Hilfe und ich bitte um Entschuldigung, dass ihr wegen des Bildes gewünschte Stellen nicht zitieren könnt.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8202
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2010 - 23:56:52    Titel:

Eigenvektoren sind diejenigen Vektoren, die bei der linearen Abbbildung, die von der Matrix beschrieben wird, nur die Länge ändern, nicht aber die Richtung.

Daraus folgt erstens:
Für einen Eigenvektor v muß gelten: A*v=j*v, wobei j der Verlängerungsfaktor ist. Also A*v=j*E*v und (A-j*E)*v=v (alle Vektoren fett geschrieben).
So kommt es, daß Dir das charakteristische Polynom die Eigenwerte j1 und j2 liefert.

Und zweitens:
Wenn die Eigenvektoren bei der Abbildung nur verlängert (oder verkürzt) werden, dann bedeutet das, daß durch die Richtung jedes Eigenvektors eine Fixgerade markiert ist, die durch den Ursprung geht.

Du mußt jetzt also Dein Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen für v1 und v2 hernehmen und es wie üblich nach v1 und v2 auflösen.
Ich empfehle Dir hier, die zweite Gleichung nach v1 aufzulösen und das Ergebnis in die erste einzusetzen.
Dann hast Du mit (v1,v2) den zugehörigen Eigenvektor und gleichzeitig die Richtung der Fixgeraden.
Für den anderen Eigenwert dann natürlich nochmal die gleichen Operationen.

Gruß, mike
Bulle110112
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Anmeldungsdatum: 15.11.2007
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 17 Jan 2010 - 15:22:12    Titel:

Bei der Matrizenmultiplikation ist mir offenbar ein schwerer Fehler unterlaufen, der hier gar nicht aufgefallen ist, denn ich habe vergessen, Klammern zu setzen. Demnach müsste das Ergebnis so aussehen:



Multipliziere ich die zweite Gleichung mit in Klammern 1 minus Wurzel 2 und dann I. minus II. Gleichung, ist erkennbar, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Also setze ich v2 = t, die Lösungsmenge lautet schließlich {[1 - W(2)] · t und t.

Als Vektor geschrieben also:

Eine Fixgerade steht dort also schon, dann schreibe ich statt dem Vektor v einfach Vektor x. Da die Gerade durch den Ursprung geht, kann ich den Stützvektor 0 0 auch weglassen. Da Fixgeraden auf sich selbst abgebildet werden durch die oben genannte Abbildungsgleichung, muss bei einer Probe dasselbe herauskommen bzw. ein Richtungsvektor, der mit dem Richtungsvektor aus der Fixgeradengleichung linear abhängig ist.



Eigentlich müsste das jetzt richtig sein, hoffe ich. Denn wenn ich das t "herausziehe", erhalte ich im Nachhinein einen RV, der linear abhängig zum oberen RV ist. Fehlt nur noch der andere Eigenwert, um die zweite Fixgerade zu ermitteln. Glücklicherweise ändern sich nur Vorzeichen, meine ich.
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