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Stochastik-Aufgabe
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PumbaUnited
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Anmeldungsdatum: 16.04.2009
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2010 - 23:27:36    Titel: Stochastik-Aufgabe

Hi,
ich habe ne Aufgabe bekommen, die ich zwar mit Baumdiagramm lösen könnte, aber das wäre doch sehr umständlich, daher wollte ich fragen, wei man die Aufgabe löeichter lösen kann!

Geheimzahl:

Ein Banktresor ist durch eine vuerstellige Geheimzahl geschützt. Als Ziffern sind jeweils 0 bis 9 erlaubt.
a) Wie wahrscheinlich sind folgende Ereignisse?

A: Alle Ziffern der Geheimzahl sind ungerade.
B: Die Geheimzahl enthält nur die Ziffern 8 und 9.
C: Die Geheimzahl ist spiegelsymmetrisch (zB. 2772)

b) Tim saft: Mit über 50% Wahrscheinlichkeit hat die Geheimzahl mindestens 2 gleiche Ziffern. Hat er recht?

c) Wie wahrscheinlich ist folgendes Ereignis:
D: Das Quadrat der Geheimzahl ist eine siebenstellige Zahl, die mit zwei Einsen beginnt und auf eins endet.

Bei A hab ich 6,25%
B: 0,16%
C: 1%
Stayfo
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Anmeldungsdatum: 07.01.2008
Beiträge: 213

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2010 - 00:21:39    Titel:

Also, irgendwie wundert mich das nicht, dass hier noch niemand drauf geantwortet hat, da muss man schon ein wenig knobeln ....

Nunja, dennoch möchte ich dir mal meine Lösungen posten. Deine Lösungen bei a) stimmen mit meinen überein. So habe ich meine Ergebnisse bekommen:


A: Alle Ziffern der Geheimzahl sind ungerade

Ungerade Ziffern 1,3,5,7,9 -> 5 Ziffern (n=5)
Die Geheimzahl ist 4-stellig -> k=4

Es gibt insgesamt n^k = 5^4 = 625 Geheimzahlen, die nur aus ungeraden Ziffern besteht. Die Gesamtzahl aller Ziffern ist 10^4 = 10000.

=> P(A) = 625/10000 = 0,0625 -> 6,25 %


B: Die Geheimzahl enthält nur die Ziffern 8 und 9

Nur 8 und 9 -> 2 Ziffern (n=2)
k=4 (s.o.)

=> P(B) = 16/10000 = 0,0016 -> 0,16 %


C: Die Geheimzahl ist spiegelsymmetrisch (zB. 2772)

Hier werden alle Geheimzahlen gesucht, bei denen Ziffern 1, 4 und 2, 3 jeweils gleich sind.

Für die erste Ziffer hast du 10 Möglichkeiten, nämlich die Ziffern 0-9. Da die vierte Ziffer mit der ersten übereinstimmen soll, hast dann nur eine Möglichkeit -> 10 x 1 = 10
Für die zweite Ziffer hast du 10 Möglichkeiten, da die dritte mit der zweiten übereinstimmen soll, hast du dafür nur eine Möglichkeit -> 10 x 1 = 10

Es gibt also insgesamt 10 x 10 = 100 spiegelsymmetische Geheimzahlen.

=> P(C) = 100/10000 = 0,01 -> 1 %

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Aufgabe b) ist schon etwas komplexer, aber so müsste die Lösung stimmen!

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die Geheimzahl mindestens 2 gleiche Ziffern? Mindestens 2 gleiche Ziffern bedeutet: 2 und 3 und 4 gleiche Ziffern.

Zuerst berechnen wir die Kombination, bei der genau 2 gleiche Ziffern vorkommen:

Zuerst müssen wir uns aber fragen: Wieviele Möglichkeiten gibt es, zwei Ziffern an 4 Plätzen zu verteilen? Da hier beide Zahlen gleich sind, also nicht unterscheidbar, ist ihre Anordnung egal. Würden wir dieses Problem als Urnenmodell abstrahieren, würden wir die aus der Urne gezogenen Kugel nicht zurücklegen, d.h. keine Widerholung! Für diese zwei Bedingungen verwenden wir den Binomialkoeffizienten ("n über k") für n=4 und k=2:

4 über 2 = 4!/(2! * 2!) = 6

Da es aber nicht eine Ziffer ist, die wir zu zweit auf 4 Plätze verteilen, sondern 10, gilt: 6 * 10 = 60

Jetzt müssen wir uns fragen, wieviele Möglichkeiten es gibt, die restlichen Ziffern auf die restlichen zwei Plätze zu verteilen. Da eine Ziffer bei zwei Plätzen schon belegt ist, bleiben jeweils 9 Ziffern für die restlichen Plätze übrig:

9 * 9 = 81

Es gibt also insgesamt 60 * 81 = 4860 Möglichkeiten für Geheimzahlen, die genau zwei gleiche Ziffern haben.


Das Ausrechnen der Kombination für Geheimzahlen mit genau 3 und 4 gleichen Ziffern ist analog. Ich sag jetzt nur die Ergebnisse, du kannst es ja dann selbst ausrechnen Wink

Kombinationen mit 3 gleichen Ziffern: 40 * 9 = 360
Kombinationen mit 4 gleichen Ziffern: 10 * 1 = 10

Für mindestens 2 gleiche Ziffern gibt es 4860 + 360 + 10 = 5230 Möglichkeiten.

=> P = 5230/10000 = 0,523 -> 52,3 %

Antwort: Die Behauptung von Tim ist richtig!


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Aufgabenteil c):

Die siebenstellige Zahl ist ebenfalls eine Zahl, deren Ziffern aus 0-9 bestehen. Hier gehen wir genauso vor wie bei b), allerdings müssen wir hier jedoch nicht zunächst berechnen, wie oft man die Eins auf sieben Plätze verteilen kann, denn das ist ja schon vorgegeben. Wir haben dafür also nur eine Möglichkeit -> 1.

Wir berechnen jetzt nur die Möglichkeiten, die anderen 9 Ziffern (n=9) auf die restlichen 4 Plätze (k=4) zu verteilen:

n^k = 9^4 = 6561

Jetzt müssen wir nur noch die Gesamtanzahl aller Quadrate der Geheimzahl ausrechnen (n=10, k=7):

n^k = 10^7 = 10 000 000

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist:

=> P = 6561/10 000 000 = 0,0006561 -> 0,06561 % ≈ 0,07 %


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sorry, wenn die Antwort so spät gekommen ist, aber da meine Kombinatorik-Kenntnisse aus der Schule ein längeres Weilchen her sind, hat das auch ein wenig gedauert. Jedenfalls ist die Lösung jetzt da und ich hab wieder meine innere Ruhe Very Happy

Gruß
PumbaUnited
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Anmeldungsdatum: 16.04.2009
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2010 - 21:19:46    Titel:

danke schön Smile
Stayfo
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Anmeldungsdatum: 07.01.2008
Beiträge: 213

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2010 - 21:56:19    Titel:

gerne Wink Very Happy
Mowgli123
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Anmeldungsdatum: 06.03.2010
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 06 März 2010 - 20:12:23    Titel:

müsste aufgabe b) nicht so gerechnet werden:

man benutzt das Gegenereignis...und zwar dass nur unterschiedliche Zahlen drankommen:

das wäre einmal (ABCD) = 10x9x8x7 = 5040

zusammen wären das 5040. Also 50,4%. Also wäre die Wahrscheinlichkeit, 2,3 oder 4 gleiche Ziffern zu haben 49,6% und somit hätte er unrecht.

Denn du hast ja gesagt wir legen NICHT zurück, aus diesem Grund darfst du n über k nicht anwenden, da dies ein Zurücklegen erfordert.

Auch bei c) ist ein Denkfehler drin.

nur weil wir bei drei Plätzen die Zahl 1 festgelegt haben, heißt das nicht, dass wir bei den anderen 4 plätzen die 1 nicht benutzen dürfen.

Außerdem enden Quadratzahlen nur auf 1, wenn die Geheimzahl mit 1 oder 9 endet, probiers aus. Zb. ist 1051^2 = 1104601.
Ich weiß selber noch nicht, wie man rechnerisch auf die Lösung kommt aber dein Lösungsweg kann so nicht stimmen. Es gehen nämlich alle Zahlen von 1051-1091, die auf 1 oder 9 enden. das sind insgesamt 9 Zahlen, was nicht mit deinem Ergebnis übereinstimmen würdem
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