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0,(per)9 oder 3/3?
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Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3151

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2010 - 21:39:36    Titel:

Danke Mike für die Korrektur.
So hatte ich es ursprünglich gemeint. ^^

Pardon.
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2010 - 00:51:57    Titel:

Zitat:
Nein, der Beweis heißt natürlich korrekt:

0,999...=x | *10
9,999...=10x | subtrahieren
9=9x | :9
1=x


Hmm, wirklich so korrekt? Ich finde ihn irgendwie komisch und gemurkst, mir wird hier zu intuitiv mit den Zahlen umgegangen.

Bin fuer den sehr einfachen Beweis mit der geometrischen Reihe, der ist formal dann auch korrekt.

Jonsy
Glumb
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Anmeldungsdatum: 03.04.2006
Beiträge: 1783
Wohnort: Bremen

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2010 - 02:24:58    Titel:

Jonsy hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Nein, der Beweis heißt natürlich korrekt:

0,999...=x | *10
9,999...=10x | subtrahieren
9=9x | :9
1=x


Hmm, wirklich so korrekt? Ich finde ihn irgendwie komisch und gemurkst, mir wird hier zu intuitiv mit den Zahlen umgegangen.

Bin fuer den sehr einfachen Beweis mit der geometrischen Reihe, der ist formal dann auch korrekt.

Jonsy


Es ist formal nicht schön, aber funktioniert tatsächlich. Kurz steht da ja:
"x = 0,9... => x = 1"

Da lässt sich dann noch fix rausholen:
"[...] => x = 1 und x = 0,9... => 1 = 0.9..."

Also falls 0,9... existiert, ist 0,9... = 1


Problem mit der geometrischen Reihe sehe ich darin, dass diese mächtigeres Werkzeug und dadurch vielleicht nicht bei Schülern bekannt ist. Das kann aber nicht als Argument benutzt werden, um das x von vornerein durch 1 zu ersetzen, weil der Beweis dann nicht mehr funktioniert (:p), weil wenn B => wahr eine wahre Aussage ist, muss nicht auch B eine wahre Aussage sein. B ist in diesem Fall natürlich 0,9... = 1.
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2010 - 11:15:11    Titel:

Zitat:
0,999...=x | *10
9,999...=10x | subtrahieren
9=9x | :9
1=x

Ich find den Beweis auch recht seltsam. Ich glaube dass das Subtrahieren von Gleichungen an sich keine gültige (bzw. sinnvolle) Gleichungstranformation ist, obwohl ich erstmal nix dagegen vorbringen kann. Aber folgendes:

5 = 7 | * 10
50 = 70 | subtrahieren
45 = 63 | : 9
5 = 7

Toll, oder? Bei dem Beweis von 0.999... = 1 funktioniert das, weil man davon ausgeht, dass 9.999... - 0.999... = 9 ist. Das stimmt zwar, müsste man meiner Meinung nach aber auch erstmal beweisen.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2010 - 11:33:15    Titel:

Zur Subtraktion von Gleichungen:

Aus a=b ∧ c=d folgt a-c=b-c=b-d.

Die Transformation "Subtraktion von zwei Gleichungen" zerfällt also in die elementaren Transformationen "Subtraktion derselben Größe" und "Ersetzen eine Größe durch eine äquivalente".

Zur Berechtigung von 9,999...-0,999=9:

Intiutiv ist das kein Problem. Formal kann man gliedweise subtrahieren, weil absolute Konvergenz vorliegt.

Gruß, mike
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3151

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2010 - 12:08:49    Titel:

Es stimmt. Es sieht sehr unschön aus.

Und der Beweis über die Reihe ist tatsächlich schöner, wollte hier lediglich afu leichten Niveau bleiben.

Ich glaube, der andere ist von den Argumenten her stärker.

Es gibt kein k für das

0,9Periode < k < 1

gilt.

Somit 0,9... = 1

Besser? Smile
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2010 - 12:35:52    Titel:

Als Beweisidee ist das o. k.
Aber dann muß es auch noch gezeigt werden. Und das macht man dann doch wohl so:

"Es gibt kein k für das 0,999... < k < 1 gilt" ist gleichwertig mit "zwischen 0,999... und 1 paßt kein Epsilon mehr".

Und damit sind wir dann wieder bei der Konvergenz der geometrischen Reihe. Die zu zeigen ist dann allerdings auch nicht wirklich schwer Smile

Gruß, mike
Masor
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Anmeldungsdatum: 16.07.2006
Beiträge: 256

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2010 - 12:41:46    Titel:

Da gibts auch diesen legendären Thread zu:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/32246,0.html
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2010 - 12:49:06    Titel:

Den hatte ich auch schon zitieren wollen. Aber wo die Suche im Forum nicht geht, habe ich ihn nicht finden können.

Gruß, mike
Masor
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Anmeldungsdatum: 16.07.2006
Beiträge: 256

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2010 - 13:17:15    Titel:

Da behilft sich der geneigte Internetuser mit folgender nützlicher Abfrage:
http://www.google.de/search?hl=de&source=hp&q=site%3Auni-protokolle.de
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