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Lösungsversuch/Stimmt es jetzt/Matrixdarstellung
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Lösungsversuch/Stimmt es jetzt/Matrixdarstellung
 
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Viviane21
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Anmeldungsdatum: 08.02.2007
Beiträge: 2206

BeitragVerfasst am: 10 März 2010 - 16:24:03    Titel: Lösungsversuch/Stimmt es jetzt/Matrixdarstellung

Gegeben: f(x) =A*x. A ist eine Matrix und gegeben.

Nun soll ich die Matrixdarstellung von f bezüglich der Basis {e1', e2'} berechnen. Die neue Basis habe ich aus dem A-Teil der Aufgabe.

Dann steht da noch: "Die Matrixdarstellung bezüglich der kanonischen Basis ist gerade A."

So. Wenn ich da jetzt halbwegs richtig liege.

Dann wäre doch.....mein Problem ist einfach, WAS ist das x?

Ich habe da noch was Kryptisches dabeistehen, nämlich: berechnen sie die Matrix A' = [;a'_{ij}_{(2x2)};] mit [; f(e'_{i}) =\sum\limits_{j=1}^2 a'_{ji}e'_{j} ;].

Das ist für mich nun arg kryptisch, aber wenn ich es annähernd richtig deute ist das x eines von den e. Nur welches? Und da es ja immer dasselbe e sein muss, wo ist dann das zweite?

Geht das nicht irgendwie in Deutsch und ein wenig weniger kryptisch?

Ich hätte das jetzt so gedeutet dass das für die kanonischen Basen so aussieht: f(e1) = A*e2.

Das passt nur irgendwo nicht damit zusammen, dass das x ja jedesmal dasselbe ist.

Alternativ, wahrscheinlicher vielleicht: f(e1,e2) = A*(e1,e2).

Falls das Letzte stimmen würde, wäre der Lösungsweg annähernd klar, aber: Stimmt das denn?


Zuletzt bearbeitet von Viviane21 am 12 März 2010 - 23:41:54, insgesamt 2-mal bearbeitet
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2687

BeitragVerfasst am: 10 März 2010 - 17:12:43    Titel:

Stimmt der Name Deines Problems?

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/246841,0.html
Johnsenfr
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Anmeldungsdatum: 06.05.2009
Beiträge: 343

BeitragVerfasst am: 10 März 2010 - 17:38:05    Titel:

Wenn ich deinen Post richtig verstanden habe, dann sollst du einen Basiswechsel durchführen. Das lässt sich in Worten so beschreiben:

Stelle die alte Basis (bei dir e1, e2) als Linearkombination der neuen Basis (e1´, e2´) dar. Also

[;e_1 = x_1 \cdot e_1^,+ y_1 \cdot e_2^,;]

[;e_2 = x_2 \cdot e_1^,+ y_2 \cdot e_2^,;]

Dann bekommst du eine Matrix bezüglich der neuen Basis, die wie folgt aussieht

[; \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 & \end{pmatrix} ;]

Das hab ich grad über Google gefunden: http://www.mathepedia.de/Basiswechsel.aspx

Gruß

Johnsen
Viviane21
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Anmeldungsdatum: 08.02.2007
Beiträge: 2206

BeitragVerfasst am: 10 März 2010 - 18:23:58    Titel:

Zitat:


Stelle die alte Basis (bei dir e1, e2) als Linearkombination der neuen Basis (e1´, e2´) dar.


Hab' ich (zugegeben mit Hilfe). Das war die Aufgabe A.

Zitat:

Dann bekommst du eine Matrix bezüglich der neuen Basis, die wie folgt aussieht

[; \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 & \end{pmatrix} ;]



Und über WELCHEN Zwischenschritt kriege ich die?


Oder mal anders : f(x) = A*x. Sei A [; \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 & \end{pmatrix} ;] Dann wäre die Matrixdarstellung, also Ax, bezüglich der kanonischen Basis auch [; \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 & \end{pmatrix} ;], richtig?

Und WAS ist dann x? Also wofür steht das?

Die Erklärungen sind alle so bildlich oder halt in Formelschreibweise, gibt's das nicht irgendwo in Schriftdeutsch?
Johnsenfr
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Anmeldungsdatum: 06.05.2009
Beiträge: 343

BeitragVerfasst am: 10 März 2010 - 18:32:50    Titel:

Zitat:
Und WAS ist dann x? Also wofür steht das?


x ist ein Vektor, der 2 Zeilen und eine Spalte hat!

Also dann sieht f(x) wie folgt aus:

[;f(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 & \end{pmatrix} \cdot \vec{x}=;]

[; \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 & \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1 & \\ x_2 & \end{pmatrix} ;]

Wenn man das Ausmultipliziert kommt ein Gleichungssystem heraus.

Und ja, es ist auszugehen, dass dies die Darstellung bzgl. der kanonischen Basis des R² ist.

Soll ich dir mal ein Beispiel geben, wie man so eine Transforamtion durchführt?

Gruß

Johnsen
Viviane21
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Anmeldungsdatum: 08.02.2007
Beiträge: 2206

BeitragVerfasst am: 10 März 2010 - 18:45:52    Titel:

Zitat:

x ist ein Vektor, der 2 Zeilen und eine Spalte hat!

Also dann sieht f(x) wie folgt aus:

[; \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 & \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1 & \\ x_2 & \end{pmatrix} ;]
Wäre dann das in dem Fall dasselbe wie
[; \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 & \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} e_1 & \\ e_2 & \end{pmatrix} ;], also zumindest bei der Darstellung bezüglich der kanonischen Basen?
Falls ja würde ich das gerne allein probieren, falls nein - ein Beispiel wäre natürlich absolut genial, ich habe nur nirgends eines gefinden, danke.
Johnsenfr
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Anmeldungsdatum: 06.05.2009
Beiträge: 343

BeitragVerfasst am: 10 März 2010 - 20:47:19    Titel:

Angenommen du hast die kanonische Basis und desweiteren die Basis im R² w_1 (2,1) und w_2 (1,3). Diese ist logischerweise lin.unabhängig, sonst wäre es ja keine Basis Smile
Nun musst du die kanonische Basis durch die neue Basis ersetzen, indem du rechnest:

[; e_1 = \alpha w_1 + \beta w_2 ;]
[; e_2 = \gamma w_1 + \delta w_2 ;]

oder anders ausgedrückt:

[; (1,0) = \alpha (2,1) + \beta (1,3) ;]

das wiederum ist ein gleichungssystem, da ja nur die 1. Komponente von den ersten Komponenten von w1 und w2 bestimmt werden können:

(I) [;1 = 2 \cdot \alpha + \beta ;]

(II) [;0 = \alpha + 3\beta;]


Das dann lösen, liefert [; \beta = -\frac{1}{5};]
und [;\alpha=\frac{3}{5};]


Und das gleiche beim 2. kanonischen Einheitsvektor:

[;(0,1) = \gamma (2,1) + \delta (1,3);]


(I) [;0 = 2 \cdot \gamma + \delta;]

(II) [;1 = \gamma + 3\delta;]


Das liefert dann: [;\gamma = -\frac{1}{5};] und [;\delta = \frac{2}{5};]


Damit ist die neue Matrix bezüglich der neuen Matrix wie folgt:

[; \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 & \end{pmatrix} ;]

Wenn es auf der kanonischen Basis aufbaut, sieht man, dass man eig. nur die inverse Matrix bilden muss. Das hier ist eben die ausführliche Beschreibung dazu!

Gruß

Johnsen
Viviane21
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Anmeldungsdatum: 08.02.2007
Beiträge: 2206

BeitragVerfasst am: 11 März 2010 - 00:34:40    Titel:

Zitat:


Damit ist die neue Matrix bezüglich der neuen Matrix wie folgt:

[; \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 & \end{pmatrix} ;]

Wenn es auf der kanonischen Basis aufbaut, sieht man, dass man eig. nur die inverse Matrix bilden muss. Das hier ist eben die ausführliche Beschreibung dazu!

Gruß

Johnsen


Und bei DIESEM Schritt verstehe ich nicht wo er herkommt. WARUM benutze ich nur das Alpha und nicht auch das Delta? Warum benutze ich das Alpha überhaupt an dieser Stelle?

Das Problem ist nicht, wie ich auf das Alpha und das Delta komme sondern warum ich dann damit so weiterrechne wie Du hier.

Nochmal.

Bei meiner Aufgabenstellung (die Zahlen sind erfunden, meine Zahlen sehen anders aus): Was würde man schreiben, wenn man in der Gleichen f(x) = A*x das A und das x jeweils durch Zahlen ersetzen würde?
So, wie die Gleichung aussieht und mit dem Hinweis dass die Matrixdarstellung bezüglich der kanonischen Basis gerade A ist müsste man doch zumindest, wenn man die Basis kanonisch lässt, einfach nur einsetzen?

Also angenommen ich habe f(x) = A*x, ich habe A wie oben gegeben und ich soll die kanonischen Basen hernehmen und ich weiß, dass die Matrixdarstellung bzgl. der kanonischen Basis A ist.
WELCHE Zahlen müsste ich dann da einsetzen?
Erstmal ohne Basiswechsel.
Viviane21
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Anmeldungsdatum: 08.02.2007
Beiträge: 2206

BeitragVerfasst am: 11 März 2010 - 19:14:17    Titel:

Ich schieb's grad nochmal.

Also nochmal: Ich HABE die kanonische Basis in Abhängigkeit von der neuen Basis und auch andersherum, ich habe also die Faktoren mit denen Du hier multiplizierst.

Nur wie in aller Welt kommt man darauf, dass man im letzten Schritt überhaupt diese Multiplikation machen muss?

Also weißt Du ich KANN das so nachrechnen und zur Not auch meine Aufgabe mit den echten Zahlen hier reinschreiben und das ganze rechnen und dann fragen ob mein Ergebnis stimmt. Wahrscheinlich stimmt es dann sogar.

Aber das hilft mir doch nichts solange ich keinen Schimmer habe wie man auf diesen letzten Schritt kommt. NATÜRLICH kann ich das eins zu eins übertragen aber deswegen habe ich das doch nicht verstanden!
Viviane21
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Anmeldungsdatum: 08.02.2007
Beiträge: 2206

BeitragVerfasst am: 12 März 2010 - 15:22:51    Titel:

Mein Problem ist, wenn ich google finde ich immer nur Beispiele wo man eine "Basiswechselmatrix" braucht. Ich bin mir aber sicher, dass das nicht drankam!

Nochmal: Das Problem ist weniger das Rechnen selbst als dass ich die Aufgabenstellung nicht verstehe.

Hat denn keiner eine Ahnung, was genau f(x) = A*x eigentlich bedeutet?

A ist gegeben. Mal angenommen, es gelten die kanonischen Basen - WAS in aller Welt ist dann x?

Interpretiere ich die Aufgabe richtig wenn ich meine, das Ax dann die Einheitsmatrix wäre?

Warte mal.


Müsste eigentlich denn da steht ja die Darstellungsmatrix bzgl. der kanonischen Basis IST gerade A.

Ok, also meine eigentliche Frage: f(x) = A*x. WIE ist dann die Darstellungsmatrix von f definiert? Ist das A oder ist das A*x?

Normalerweise hätte ich gesagt A*x (und DANN wäre die Aufgabe auch klar) aber ich soll ja nun laut Aufgabenstellung ein A' suchen und nicht ein (A*x)'.

Selbst WENN die Darstellungsmatrix A wäre statt A*x wäre das ganze noch zu berechnen aber wie kriege ich heraus WELCHES von beiden die Darstellungsmatrix von f ist? Ist das nicht irgendwo definiert?
Ok also wäre E2 = A*x. Oder?
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