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Funktion auf Symmetrie untersuchen
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denise2504
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Anmeldungsdatum: 04.09.2010
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 13:21:35    Titel: Funktion auf Symmetrie untersuchen

Hallo an alle ! Smile

Ich habe als Hausaufgabe aufbekommen die Funktion auf Symmetrie zu untersuchen, nur habe ich es noch nie gemacht und würde gerne wissen, WAS das ist und WIE man da vorgeht.

f(x)= 1/4x^4-2x^2+2

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.. Smile

LG Denise
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 13:52:52    Titel:

Eine Funktion f(x) ist punktsymmetrisch wenn gilt f(x) = -f(-x)

Eine Funktion f(x) ist achsensymmetrisch wenn gilt f(x) = f(-x)

Das musst du jetzt nachprüfen.

Vielleicht ein Hinweis: wenn die Funktion f(x) ein Polynom ist, dann ist sie punktsymmetrisch, wenn nur UNGERADE Potenzen von x vorkommen. Sie ist jedoch achsensymmetrisch, wenn nur GERADE Potenzen von x vorkommen.

Welcher Fall trifft wohl bei deiner Aufgabe zu? Very Happy

Grüße
denise2504
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Anmeldungsdatum: 04.09.2010
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 13:56:53    Titel:

Also ich schätze mal, sie ist Achsensymmetrisch? ^^
In meiner Funktion sind ja nur gerade Potenzen vor x vorhanden..Very Happy
Ist das richtig?
Wie kann man das denn nachprüfen?
Und gibt es eine genaue Schreibweise und Definition für sowas?...

Tut mir leid, bin total Ahnungslos, was dieses Thema angeht, deswegen auch diese Fragen... Neutral
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 14:04:32    Titel:

Mit deiner Schätzung liegst du vollkommen richtig!

Na, und wie man das nachprüft? Ganz einfach durch nachrechnen!

(1) f(x)= 1/4x^4-2x^2+2

(2) f(-x)= 1/4(-x)^4-2(-x)^2+2 = 1/4x^4-2x^2+2

Aus (1) und (2) folgt

f(x) = f(-x)

und deshalb ist die Funktion achsensymmetrisch.

Grüße
denise2504
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Anmeldungsdatum: 04.09.2010
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 14:11:27    Titel:

aahhh okay, verstehe Very Happy

Und ich hätte da noch eine Frage zum Thema "Verhalten im Unendlichen"..
Das muss ich nämlich auch untersuchen und auch das habe ich vorher noch nie gemacht... Confused

Gibts da irgendeine verständliche und leichtere Erklärung als die, die man so im Internet findet?..
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 14:20:54    Titel:

Ich weiß ja nicht was du da im Internet gefunden hast ... Very Happy

... aber du sollst x gegen plus bzw. minus unendlich streben lassen, und nachsehen, was dann die Funktion macht.

1. x gegen plus unendlich

f(x)= 1/4x^4-2x^2+2

1/4x^4 strebt gegen plus unendlich

-2x^2 strebt gegen minus unendlch

Tja, jetzt fragt man sich wer hier "gewinnt" ... Very Happy

Dazu klammern wir einfach x² aus

f(x)= x² * (1/4 x² - 2 + 2/x²)

x² strebt gegen plus unendlich

1/4 x² - 2 strebt gegen plus unendlich

2/x² strebt gegen 0

Also strebt der ganze Ausdruck gegen plus unendlich * plus unendlich ... d.h. er strebt gegen plus unendlich!

2. x gegen minus unendlich

Und genauso macht man das für x gegen minus unendlich ... Oder man beachtet, dass die Funktion achsensymmetrisch ist! Wegen f(x) = f(-x) wird sich die Funktion für x gegen minus unendlich genauso verhalten, wie für x gegen plus unendlich. Und deshalb spart man sich die Rechnung!

Grüße
denise2504
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Anmeldungsdatum: 04.09.2010
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 14:28:30    Titel:

Also hat das denn dann was mit den Vorzeichen zu tun und mit der höhe der Exponenten?...
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 14:30:56    Titel:

Yip ... die höchste Potenz des Polynoms oder genauer, das Vorzeichen seines Koeffizient bestimmen, das Verhalten der Funktion im Unendlichen ... Die kleineren Potenzen des Polynoms spielen im Unendlichen keine Rolle.

Man muss das halt nur irgendwie sauber beweistechnisch formulieren.

Grüße
denise2504
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Anmeldungsdatum: 04.09.2010
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 14:32:51    Titel:

Verstanden! Smile

Viiiielen, vielen Dank! Very Happy

Lieben Gruß
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