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Bild einer linearen Abbildung bestimmen
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Feuerflamme
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
Beiträge: 112

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 22:30:17    Titel: Bild einer linearen Abbildung bestimmen

Hallo,

hätte eine ganz kurze Frage zu einer Aufgabe. Und zwar sind folgende Vektoren und die lineare Abbildung gegeben
b1 = (1,1,1), b2 = (1,0,2), b3 = (0,0,1)

L: R^3 -> R^3
b1 -> (2,1,3), b2 -> (3,3,1), b3 -> (1,2,-2)

Nun lautet die Aufgabe
Bestimmen Sie Bild und Kern von L (Darstellung bezüglich der Standardbasis)

Die Lösung sagt, dass das Bild von L = span((3,3,1),(2,1,3)) ist.

Ist mir total unklar wie die auf das Ergebnis kommen, wieso ist das Bild nicht ganz R^3?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 07 Sep 2010 - 09:24:46    Titel:

Zitat:
wieso ist das Bild nicht ganz R^3?

Weil's nicht so ist natürlich :)

Hast du denn schon die Abbildungsmatrix von L bestimmt?
Feuerflamme
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
Beiträge: 112

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2010 - 10:08:01    Titel:

1 0 0
-1 1 0
3 0 1

Also die Standardverktoren mit den Vektoren aus b dargestellt und abgebildet? Aber scheint irgendwie komplett falsch zu sein wenn die Lösungsmenge ja
(3,3,1),(2,1,3) ist. Die kommen bei meiner Matriz ja noch nichtmal ansatzweise vor. Sad

edit: ah hatte einen Fehler drinnen die Matrix ist
0 0 0
-1 1 0
3 0 1

Aber dennoch falsch ^
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8226
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2010 - 10:26:58    Titel:

Das kann nicht sein. Wenn in der Matrix die erste Zeile nur Nullen enthält, dann liefert das bei jedem Vektor, den du mit der Matrix multipliziert, in der ersten Komponente den Wert null.

Aber die Bilder Deiner drei Stützvektoren haben von null verschiedene erste Komponenten.

Gruß, mike
Feuerflamme
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
Beiträge: 112

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2010 - 10:31:07    Titel:

scheinbar versteh ich die Aufgabe irgendwie nicht.

Bestimmen Sie Bild und Kern von L (Darstellung bezüglich der Standardbasis) war ja die Aufgabe.
Und wenn
L: R^3 -> R^3
b1 -> (2,1,3), b2 -> (3,3,1), b3 -> (1,2,-2)
doch die Abbildung ist, hatte ich zuerst gedacht, dass ja dann das Bild davon
einfach die lineare Hülle der drei b Vektoren ist. Da die Lösung aber nur aus 2 Vektoren bestand, hatte ich gedacht, dass ich die Standardvektoren zuerst umwandeln muss und dann abbilde, aber dann kommt ja die falsche Matrix heraus.

Mehr Möglichkeiten fallen mir da jetzt auch nicht mehr ein. Sad
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2010 - 11:10:12    Titel:

Überleg doch mal! Es gilt (laut Aufgabenstellung):

Code:

    (1 1 0)   (2 3 1)
A · (1 0 0) = (1 3 2)
    (1 2 1)   (3 1 -2)


A kannst du hier ganz einfach bestimmen, indem du von rechts mit der inversen Matrix von B (bestehend aus b_1, b_2 und b_3) multipliziert. Dann erhältst du:

Code:

    ( 1  0  1)
A = (-1  0  2)
    ( 5  0 -2)


Mehr verrat ich dir aber jetzt nicht...
Feuerflamme
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
Beiträge: 112

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2010 - 11:27:43    Titel:

Ich verstehe es immernoch nicht. Kannst du mir vielleicht noch sagen was überhaupt genau gesucht ist bei der Aufgabenstellung.

Ich krieg nämlich nicht mehr aus dem Kopf, dass die Lösung doch ganz R^3 sein müsste. Das Bild von L besteht doch aus
b1 -> (2,1,3), b2 -> (3,3,1), b3 -> (1,2,-2)
und diese spannen doch den gesamten R^3 auf? (Das man das bezüglich der Standardbasis angeben soll versteh ich in dem Zusammenhang deswegen nicht)
Das Bild mithilfe der Standardbasis anzugeben, das wären doch einfach die drei Standardvektoren, da diese ja dann auch den R^3 aufspannen.

Wie du also siehst, scheints bei mir an der Aufgabenstellung zu hängen. Sad
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2010 - 11:58:14    Titel:

Die Menge {(2, 1, 3), (3, 3, 1), (1, 2, -2)} ist aber linear abhängig ((2, 1, 3) + (1, 2, -2) = (3, 3, 1)) und damit nicht Basis eines 3-dimensionalen Raumes.

Es ist gesucht die Menge aller Funktionswerte von L und die Urbildmenge des Nullvektors; kurz: das Bild und der Kern. Formal notiert lautet das allgemein:

f : X → Y
im(f) = {f(x) | x € X}
ker(f) = {x € X | f(x) = ntr_Y}

Natürlich setzt die Definition diese Kerns voraus, dass Y eine algebraische Struktur mit neutralem Element ist. Auf deinen Fall bezogen wäre das:

L : R³ → R³
im(L) = {L(x) € R³ | x € R³}
ker(f) = {x € R³ | L(x) = 0}

Wie du an der Abbildungsmatrix von L erkennen kannst, ist die zweite Komponente im Ergebnis stets Null. Wie soll dann ganz R³ das Bild sein? (0, 1, 0) ist nämlich schon kein Bild von L.

Brauchst du es noch genauer?
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