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extremwertaufgabe => DRINGEND
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sandra1982
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Anmeldungsdatum: 10.06.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2005 - 21:09:29    Titel: extremwertaufgabe => DRINGEND

Gegeben ist ein Zylinder mit einem Volumen von 1000 cm³. Der Mantel besteht aus Pappe und die "Deckel" aus Metall, das 4mal so teuer ist wie die Pappe. Nun sll man herrausfinden, wie die billigste und die teuerste Variante des Zylinders aussieht!

ich bräuchte dringend die lösung für diese aufgabe.... aber so in einzelschritten damit ich es auch versteh...... hoff es kann jemand helfen
thx
TorbenW
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Anmeldungsdatum: 24.05.2005
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2005 - 03:06:31    Titel:

Hallo!

Also erstmal ein paar Variablen Definitionen, damit du weisst, was ich mit den ganzen Buchstaben meine:
Pi = 3.1416 (ungefährer Wert)
Radius r
Kreisumfang u
Kreisfläche A
Höhe h
Volumen V
Fläche des Pappmantels m
Kosten k


A = Pi*r²
u = 2*Pi* r
V = A * h
m = u * h

Also die Kosten ergeben sich aus der achtfachen (2 Deckel 4 facher Preis) Deckelfläche + einfacher Pappmantel
k = 8 * A + u * h = 8 * Pi * r² + 2 * Pi * r * h

Nun muss noch gelten
V = 1000 cm² = A * h = Pi * r² * h

1000cm³ = Pi * r² * h löst du nach h auf:
h = 1000cm³/(Pi * r²)

Damit ersetzt du dann das h in die Kostenformel:
k = 8 * Pi * r² + 2 * Pi * r * 1000cm²/(Pi*r²) = 8 * Pi * r² + 1000cm³/r

Damit hast du die Kostenformel nur noch abhängig von einer Variablen, nämlich dem Radius, um das Minimum zu finden muss die Ableitung null sein. Also Ableitung:
k' = 16 * Pi * r - 1000cm³/r² = 0
16 * Pi * r = 1000cm³/r²
r³ = 1000cm³/(16*Pi)
r = 2,7096 cm (ungefährer Wert)

Willst du auch noch die Höhe, dann einfach in die nach h aufgelöste Formel einsetzen:
h = 1000cm³/(Pi * r²) = 43,3541 cm (ungefährer Wert)

Für ein Minimum muss noch die 2. Aleitung an der Stelle grösser null sein. Zweite Ableitung:
k'' = 16 * Pi + 2000cm³/r³
Das ist der Fall (weil zwei positive Werte addiert werden).

Dann müssen noch die 'Ränder' überprüft werden. Nämlich r=0 bzw. fast 0 und r = riesig (h = fast 0)
Man sieht, dass für r = 0 und r = unendlich die Kosten auch gegen unendlich gehen. Der Quadratische Term (r²) wird grösser bei r gegen unendlich als 1000/r bei r gegen null.
Folglich wird der Zylinder am teuersten, wenn man den Deckel beliebig gross macht und die Höhe 0. Technisch natürlich nicht machbar, aber ohne minimale Höhe nicht besser zu lösen .. denke ich.


Minimale Kosten:
Radius = 2,7096 cm
Höhe = 43,3541 cm

Maximale Kosten:
Radius = maximal
Höhe = minimal


Ist schon so spät, also diesmal keine Garantie für Richtigkeit Wink

Wenn noch was unklar ist, kannste ja nochmal fragen.
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