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Unterräume
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amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
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BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 14:33:34    Titel: Unterräume

hey leute!

ich habe ne aufgabe wie folgt:

Zitat:
sei V ein Vektorraum und U,U' Unterräume von V
sei v€U+U' definiert als v=u+u' mit u€U und u'€U'.
zeige, dass diese Darstellung genau dann eindeutig definiert ist, wenn der Schnitt von U und U' = {0} ist.


frage, die sich beim lösen nun gestellt hat: bedeutet die Summe aus U und U' dasselbe wie die Vereinigung? weil wenn nicht, hab ich leider keinen plan, wie ich das beweisen soll.
*help*
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 14:41:27    Titel:

Definitiv nicht. U = { (0,a) | a in R }, U' = { (a,0) | a in R }. Dann ist die Vereinigung gar kein Unterraum, denn (0,1) in U u U', (1,0) in U u U', aber (0,1)+(1,0) = (1,1) nicht in U u U'.

Dein Beweis sollte so aussehen: Eindeutig bedeutet, daß aus v in U + U' folgt das es genau ein u in U und u' in U' gibt mit u + u' = v (Die andere Richtung ist trivial).
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 14:53:17    Titel:

ahja.
danke.
habe eben eine antwort schreiben wollen und dabei ist mir eingefallen, wie ich argumentiere. Very Happy

sehr schön.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 17:53:11    Titel:

Ich schreibe doch mal den Beweis hin, nur für dich zum Vergleichen.

Gelte U geschnitten U' = {0}. Sei dann ein v in U + U'. Nach Definition von + gibt es ein u in U und u' in U' mit v = u+u'. Angenommen die Darstellung ist nicht eindeutig. Sei etwa w in U und w' in U' mit v = w + w' und w <> u und w' <> u'. Dann gilt u + u' = w + w' und somit u - w = w' - u'. Da aber u - w <> 0 wegen u <> w und u-w in U (Unterraum) ist auch w' - u' ungleich 0 und in U. Somit haben wir durch u-w einen nicht 0 gleichen Vektor, der im Schnitt von U und U' liegt. Das ist Widerspruch zur Voraussetzung.

Sei nun die Darstellung eindeutig. D.h. aus v in U+U' folgt, daß es eindeutige u in U und u' in U' gibt mit u + u' = v. Angenommen der Schnitt ist nicht {0}. D.h. es gibt ein Vektor w <> 0 in U geschnitten U'. Da dieser auch in U+U' liegt, so muüsste auch eine eindeutige Darstellung von w geben. Dem ist aber nicht so, denn durch w = w + 0 und w = 0 + w mit w jeweils in U bzw. U' liegen zwei verschiedene Darstellungen von w im Sinne obiger Definition.

Ich hoffe, es ist bei Dir auch so.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
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BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 18:22:08    Titel:

ja danke! Very Happy bist n schatz!

die hinrichtung (das erste bei dir) hab ich im groß & ganzen auch so (nur anders formuliert natürlich) und die rückrichtung hab ich über die inversen und die existenz der 0 in U und U' argumentiert.
denn 0 ist auf jeden fall in U und auch n U' und daher auch im schnitt wegen der gruppenaxiome, die im raum gelten sollen. dann ist v=0+0=0 auf jeden fall. 0=x+(-x) für alle x€U. das hieße aber, -x wäre in U' nach definition. dann wäre wegen des axioms der inverse x€U und x€U' für alle x. v soll aber eindeutig sein. daher ist x kein element der vereinigung für alle x. somit gilt UvereinigtU'={0}

tata!

geht doch auch, oder?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 18:41:31    Titel:

Das ist nicht so gut. Wenn Du 0 = x - x annimmst für alle x in U und willst das zu der Darstellung von 0 machen, so funktioniert das nicht, da x und -x in dem selben Unterraum sind. Dadurch hast Du bereits in der Annahme eine (nicht eindeutige) Darstellung gewählt, die es nach Vor. nicht gibt. Ich glaube, ohne anzunehmen, daß ein von 0 verschiedener Vektor im Schnitt ist, geht die Aufgabe nicht.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
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BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 18:46:29    Titel:

naja ist doch sozusagen ein widerspruchsbeweis:

angenommen, es gebe x€UvereinigtU'. dann ist -x auch element UvereinigtU'. v=0+0=0 auf jeden fall wegen 0€U und 0€U' laut gruppenaxiomen. dann lässt sich v auch darstellen als: x+(-x)=v=0. das ist aber nicht eindeutig, wie gefordert. also kann die vereinigung keine weiteren elemente als 0 beinhalten.

tata.

oder? ich finds logisch.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 18:58:39    Titel:

So ist's ok, wenn Du noch "vereinigt" durch "geschnitten" überall ersetzt Smile Für Vereinigung gilt das alles nicht. Und die Begründung, daß -x im Schnitt liegt sollte sein "da U geschnitten mit U' ein Untervektorraum von V ist". Ich habe der ersten Antwort die Beweisform und den Ansatz nicht entziffern können. Dann ist's ok.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
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BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 19:04:10    Titel:

hach. schön!
und ja... natürlich schnitt! sorry! *schussligbin*
dann schreib ich das alles jetz ordentlich ab und sammel morgen punkte... hihi! Very Happy

schönen abend noch und nochmal vielen dank!
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
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BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 19:10:23    Titel:

hm... jetzt häng ich grad nochmal.
und zwar in deinem ersten beweis:
Zitat:
wegen [...] ist auch w'-u'€U.

wieso U und nicht U'? aber tut ja eh nix zur sachen, oder? weils geht ja um u-w€UschnittU' von null verschieden --> wiederspruch
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