Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Asymptote und definitionsbereich?
Gehe zu Seite 1, 2, 3, 4  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Asymptote und definitionsbereich?
 
Autor Nachricht
Bastianboecking
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 11.06.2005
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 22:15:31    Titel: Asymptote und definitionsbereich?

Was ist mit Asymptote gemeint?
in einer aufgabe steht: für x=-1 liegt eine vertikale asymptote vor! wie kommt man auf x=-1?????

wie kommt man auf den definitionsbereich D= R/ {-1}
f (x)= (x²-2x+1) / (x+1)
TorbenW
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 24.05.2005
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 01:24:17    Titel:

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich die Funktion immer mehr annähert.

Also wenn du dir vorstellst, dass x immer näher an -1 heranrückt, dann wird der Wert der Funktion immer grösser. Das gilt sowohl wenn man sich von rechts nähert als auch von links. Also nähert sich die Funktion an der Stelle -1 der vertikalen Gerade, die die x-Achse bei -1 schneidet. Die Gleichung dieser Gerade ist x=-1.

Also du kannst dir merken, wenn die Funktion an einer Stelle nicht definiert ist und links und rechts davon der Wert praktisch unedlich oder minus unendlich ist, dann ist dort eine vertikale Asymptote mit x=Konstante(die Konstante hat natürlich genau den Wert bei dem die Funktion nicht definiert ist).
Es gibt auch noch nicht vertikale Asymptoten. Dazu betrachtet man wogegen der Graph strebt wenn x unendlich oder - unendlich wird.

-------------------------------------------------------------------------------------

Also der Definitionsbereich einer Funktion ist der Bereich in dem die Funktion definiert ist.

Da musst du also mal gucken wo die Funktion nicht definiert ist. Der Nenner darf nicht 0 sein, denn man darf nicht durch Null teilen. Das ist genau dann der Fall, wenn x = -1. Bei allen anderen Werten gibt es auch "vernünftige" Werte. Also ist der Definitionsbereich D = R\{-1}. Das bedeutet alle reellen Zahlen aber ohne -1.
Bastianboecking
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 11.06.2005
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 05:28:54    Titel: kurvendiskussion polstellen?

Das mit dem Definitionsbereich ist jetzt klar!
mit den asymptoten versteh ich immer noch nicht ganz!

Wie ist das mit den polstellen bei der aufgabe
f (x)= (x²-2x+1) / (x+1) ?

Antwort lautet: ein pol liegt vor, wenn der nenner verschwindet,der zähler aber nicht. Bei x3=-1 liegt ein Pol vor!

Bitte woher nehmen die die -1, wegen dem Definitionsbereich R/ {-1} ??
wie verschwindet hier der nenner?
Whoooo
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 08:33:51    Titel:

verschwinden heisst null werden. setzt du für x (-1) ein, so wird der nenner null, weil (-1) +1 = 0. da der nenner NIE null werden darf, MUSS die (-1) aus dem definitionsbereich ausgespart werden.

die (-1) ist nullstelle des nenners, aber nicht nullstelle des zählers, aus diesem grund liegt nach definition eine polstelle vor.
wild_and_cool
Moderator
Benutzer-Profile anzeigen
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 10:07:44    Titel:

Also eine Asymptote ist eine Kurve, der sich die gegebene Funktion immer weiter annähert, beide aber nie gleich werden.

Meistens kommen Asymptoten waagerecht oder senkrecht vor.
Waagerecht nähert sich dann die Funktion einem bestimmten Wert an, andem sie aber garnicht definiert ist.

Senkrechte Asymptoten treten an Polstellen auf, d.h. die Funktion geht dann gegen + oder - unendlich an einem bestimmten x-Wert.

In Deinem Beispiel:
f (x)= (x²-2x+1) / (x+1)

Nullstellen: Zähler gleich Null

x²-2x+1 = 0
x1/2= 1 +- Wurzel(1²-1)

Das bedeutet man kann den Zähler auch so schreiben:
x²-2x+1 = (x-1)*(x-1) = (x-1)²

Teilt man nun mit einer Polynomdivision die Funktion mal durch bekommt man die dritte Variante einer Asymptote, die schiefe Asymptote:

(x²-2x+1) : (x+1) = x - 3 + 4/(x+1)
-(x²+x)
---------
-3x+1
-(-3x-3)
---------
4

x - 3 + 4/(x+1)
Das rote entspricht nun Deiner schiefen Asymptote, das 4/(x+1) ist der Rest der Polynomdivision.

Das ganze sieht dann so aus:

Bastianboecking
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 11.06.2005
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 10:41:37    Titel: kurvendiskussion

gut soweit verstanden mit den asymptoten ,nur die skizze nicht so richtig, wie trägst du die werte ein? welche muss ich eintragrn und dann verbinden? x-3??
wild_and_cool
Moderator
Benutzer-Profile anzeigen
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 11:08:36    Titel:

Das ist ja das schöne an den Asymptoten, man bekommt damit eine ungefähre Vorstellung wie die Kurve verlaufen muss, da man durch die Asymptotn weiss wo sich die Kurve nähert...

Dann trägt man noch die Nullstellen ein und kann tendenziell sagen wie die Kurve aussehen muss...

Ich probier das mal mit ein paar Skizzen zu zeigen:

Erstmal die Asymptoten:


Dann den Verlauf der Kurve an die Asymptoten:


Dann noch die Nullstelle und alles verbinden:


Und feritig ist eine Skizze der Funktion...

Natürlich könnte man auch mit einer Wertetabelle arbeiten, das kostet aber Zeit und Nerven...

Und wenn eine Skizze reicht dann is das schon in rdnung, wenn man die Tendenz einer Funktion erkannt hat...
Bastianboecking
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 11.06.2005
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 11:20:35    Titel: kurvendiskussion asymptoten

woher weisst du den verlauf der kurve an den asymptoten? das rote?
und bei y=x-3 woher weisst du da den x wert oder darf man den selber wählen?
wild_and_cool
Moderator
Benutzer-Profile anzeigen
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 11:33:26    Titel: Re: kurvendiskussion asymptoten

Bastianboecking hat folgendes geschrieben:
woher weisst du den verlauf der kurve an den asymptoten? das rote?


Also ich weiss ja, das die Funktion eine Polstelle hat, d.h. das ist da wo der Nenner nicht definiert ist. Also bei x = -1, da zeichne ich mir einen senkrechten Strich ein. Jetzt schau ich mir an was die Funktion direkt neben dem Pol macht, d.h. ich setze in die Funktion einen Wert ein, der direkt links daneben und rechts daneben liegt.

Dann bekomm ich raus, das der Wert links daneben negativ und riessenross ist, also -unendlich, der rechts daneben ist positiv und riessengross, also + unendlich...

Das zeichne ich jetzt als Tendenz einfach mal als eine Art Strich in meine Zeichnung ein...

Dann trag ich meinen Nullstelle ein, die ich berechnet habe, indem ich den Zähler gleich Null gesetzt habe...

Bastianboecking hat folgendes geschrieben:
und bei y=x-3 woher weisst du da den x wert oder darf man den selber wählen?


Diese Gerade habe ich berechnet, indem ich eine Polynomdivision der Funktion gemacht habe. Das Ergebnis der Poly ohne den Rest der entsteht ist die schiefe Asymptote, also kann ich die ja auch einzeichnen.

Jetzt sagt mir doch meine Logik, das wenn ich zwei Annäherungen an zwei Geraden habe und dazwischen eine Nullstelle, das dann das Bildchen durch die Nullstelle gehen muss und sich den Asymptoten annähern, dann bleibt garnichts mehr übrig, als das die Kurveso verläuft...
Bastianboecking
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 11.06.2005
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 11:40:15    Titel: kurvendiskussion

vielleicht bi nich grad schwer von begriff, aber du hast ja x-3 ausgerechnet durch die polynomdivision, der rest fällt weg, gut aber welchen wert nehme ich für x im koordinatensystem? -3 kann ich ja einfach einzeichnen!
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Asymptote und definitionsbereich?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite 1, 2, 3, 4  Weiter
Seite 1 von 4

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum