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Hartnäckige Ungleichung zu zeigen
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rammy
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Anmeldungsdatum: 30.10.2008
Beiträge: 54

BeitragVerfasst am: 20 Sep 2011 - 15:33:45    Titel: Hartnäckige Ungleichung zu zeigen

Für a,b,c > 0 und a,b,c aus |R soll man zeigen:

(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3

Habt ihr irgendwelche Ideen?

Gleichheit ist gegeben für:
a=b=c=1 (und -2)

Ich habe nun die Ungleichung ausmultipliziert und vereinfacht, bringt nicht viel...

Dann habe ich versucht zu substituieren, und habe:
b=c=1 und a=x+1 etc. gezeigt, ab er ich denke, dass dies auch nicht zielführend ist...

Habt ihr irgendwelche Ideen?
Schreibknecht
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Anmeldungsdatum: 16.10.2010
Beiträge: 187

BeitragVerfasst am: 20 Sep 2011 - 15:44:46    Titel:

Hast du mal versucht, die Extrema der Funktion [;f\colon (0,\infty)^3\to\mathbb{R},\;(x,y,z)\mapsto (x^3+2)(y^3+2)(z^3+2)-(x+y+z)^3;] zu bestimmen und zu zeigen, dass die globalen Minima Funktionswerte größer gleich 0 haben?
metalmatiker
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Anmeldungsdatum: 07.06.2010
Beiträge: 305

BeitragVerfasst am: 20 Sep 2011 - 18:30:55    Titel:

Hallo,
die Aufgabe hatte ich auch mal zu lösen. (Habs aber nicht geschafft)

Woher hast du sie denn?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 20 Sep 2011 - 19:15:06    Titel:

Ich hab ne Lösung, aber die ist etwas tricky:

Erstmal aus der Ungleichung die dritte Wurzel auf beiden Seiten ziehen (geht, wegen Monotonie der Fkt. x->x^3) und das Reziproke nehmen.

Dann geht die zu zeigende Ungleichung über in

GM( 1/(a^3+2); 1/(b^3+2); 1/(c^3+2) ) <= 1/3 HM(1/a; 1/b; 1/c),

wobei GM für das geometrische und HM für das harmonische Mittel steht.


Wendet man die bekannten Standard-Mittel-Ungleichungen zwischen geometrischem und arithmetrischem bzw. harmonischem und arithmetrischem Mittel an, so folgt diese Ungleichung aus folgender:

( 1/(a^3+2) + 1/(b^3+2) + 1/(c^3+2) )/ 3 <= 1/3 * (1/a + 1/b + 1/c)/3

bzw. nach Multiplikation mit 9:

3/(a^3+2) + 3/(b^3+2) + 3/(c^3+2) <= 1/a + 1/b + 1/c.


Offenbar genügt es dafür schon zu zeigen, dass 3/(a^3+2) <= 1/a für a>0 ist. Diese Ungleichung ist aber äquivalent zu 3a <= a^3+2 bzw.

0 <= a^3-3a+2 = (a-1)*(a^2+a-2) = (a-1) * (a+2) * (a-1) = (a-1)^2 * (a+2);

was offensichtlich wahr ist; und Gleichheit nur im Fall a=1 (und damit analog auch b=c=1) zulässt. Dass dies auch in der Ausgangsungleichung dann den Gleichheitsfall liefert, bestätigt das Einsetzen.


(edit: Idee dahinter war, dass das Auftretens eines Produkts von drei Faktoren und eben einer dritten Potenz --> dritter Wurzel ja irgendwie nach einem geometrischen Mittel schreit. Problem: Das Relationszeichen zeigt dafür in die falsche Richtung. Also dieses irgendwie umdrehen, eben durch Reziprokenbildung. Dann aber stehen im GM die Variablen im Nenner; also sollten sie das auf der anderen Seite der Ungleichung auch tun. Und dann sind wir i.W. da...)

Cyrix
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