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Differentialkondensator Spannungsdifferenz
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Valentin H.
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Anmeldungsdatum: 13.04.2012
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2012 - 21:30:46    Titel: Differentialkondensator Spannungsdifferenz

Hallo,

ich soll die Formel für die Spannungsdifferenz in einem Differentialkondensator aufstellen und bin momentan recht planlos, wie ich das angehen soll.
Die fertige Formel habe ich bereits im Internet gefunden: http://www.emt.tugraz.at/publications/diplomarbeiten/da_untersweg/2_4Beschleunigungsmessung.html (Formel 2.16). Könnte mir vielleicht jemand erklären, wie man die herleitet, bzw. eine schnelle Herleitung schreiben? Der Differentialkondensator ist übrigens in der gleichen Art geschalten, wie über der Formel abgebildet.

Des Weiteren soll ich noch die beiden Potentiale für die beiden Punkte links und rechts von Um berechnen. Weis auch da vielleicht jemand, wie man das macht?
Valentin H.
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Anmeldungsdatum: 13.04.2012
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2012 - 01:27:33    Titel: Differentialkondensator Spannungsdifferenz

Weiß das wirklich niemand? Na ja, ist jetzt auch kein Problem mehr, weil ich die Herleitung dann doch herausgefunden habe Very Happy

Für die, die es interessiert oder jene, die an einem ähnlichen Beispiel sitzen und nicht weiterkommen, poste ich einmal mein Resultat:
Zitat:
Aus den Kirchhoff'schen Regeln folgt für die Schaltung:

U0 = Uc

Uc setzt sich aus den Teilspannungen U1 und U2 in den Zwischenräumen des Differentialkondensators zusammen:

Uc = U1 + U2

Für U0 folgt also:

U0 = U1 + U2

Soweit zur Spannung. Für das elektrische Feld im Plattenkondensator gilt E = const., woraus für den Differentialkondensator folgt:

E = U1/d1 = U2/d2

Wegen E = const., gilt auch für das elektrische Feld des gesamten Differentialkondensators:

E = Uc/(2 * d) = U0/(2 * d)

Und jetzt kommt das Entscheidende; man definiert ein ΔU für die Spannungsdifferenz und ein Δd für die Verschiebungen der elastisch aufgehängten Masse:

ΔU := U1 - U2
Δd := d1 - d2

Auch für diese Werte gilt:

E = ΔU/Δd

Das kann folgendermaßen bewiesen werden:

E = U2/d2 = (U2 + ΔU)/(d2 + Δd) = (U2 + U1 - U2)/(d2 + d1 - d2) = U1/d1

Und da E = U1/d1 = U2/d2 gilt, muss folglich auch E = ΔU/Δd gelten. Nun hat man folgende beiden Gleichungen für das elektrische Feld:

I) E = U0/(2 * d)
II) E = ΔU/Δd

Beide gleichsetzen, auf ΔU umformen et voilà - es kommt die gesuchte Formel heraus:

ΔU = (U0 * Δd)/(2 * d)

Das Ganze bezieht sich übrigens nach wie vor auf die Schaltung, die auf der Seite http://www.emt.tugraz.at/publications/diplomarbeiten/da_untersweg/2_4Beschleunigungsmessung.html über Formel 2.16 abgebildet ist Wink
GvC
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Anmeldungsdatum: 16.02.2009
Beiträge: 3050

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2012 - 11:00:33    Titel:

Valentin H. hat folgendes geschrieben:
Das Ganze bezieht sich übrigens nach wie vor auf die Schaltung, die auf der Seite http://www.emt.tugraz.at/publications/diplomarbeiten/da_untersweg/2_4Beschleunigungsmessung.html über Formel 2.16 abgebildet i


Dann solltest Du zur besseren Nachvollziehbarkeit auch die dort verwendeten Größensymbole benutzen.

Im Übrigen musst Du nicht unbedingt über die Feldstärken gehen. Es reicht vollkommen die Kenntnis von

1. Maschensatz
2. Formel für die Kapazität eines Plattenkondensators
3. ohmsche Spannungsteilerregel
4. kapazitive Spannungsteilerregel

Zu 1.
[;U_m=U_{C1}-U_R;]

Zu 2.
[;C=\frac{\varepsilon_0\cdot A}{d};]

[;\Rightarrow\qquad C_1=\frac{\varepsilon_0\cdot A}{d_1}\qquad;]und [;\qquad C_2=\frac{\varepsilon_0\cdot A}{d_2};]

Zu 3.
[;U_{R1}=U_{ges}\cdot\frac{R_1}{R_1+R_2};]

Im vorliegenden Fall sind die beiden Widerstände gleich groß, und die Gesamtspannung wird Us genannt, also

[;U_R=U_s\cdot\frac{R}{2R}=\frac{U_s}{2};]

Zu 4.
[;U_{C1}=U_s\cdot\frac{C_2}{C_1+C_2}=U_s\cdot\frac{\frac{\varepsilon_0\cdot A}{d_2}}{\frac{\varepsilon_0\cdot A}{d_1}+\frac{\varepsilon_0\cdot A}{d_2}}=U_s\cdot{\frac{1}{d_2\left( \frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}\right) };] [;=U_s\cdot\frac{1}{\frac{d_2}{d_1}+1}=U_s\cdot\frac{d_1}{d_1+d_2};]

Im vorliegenden Fall ist

[; d_1=d_0+d;] und [; d_2=d_0-d;]

Einsetzen:

[; U_{C1}=U_s\cdot\frac{d_0+d}{d_0+d+d_0-d}=U_s\cdot\frac{d_0+d}{2d_0}=U_s\left( \frac{1}{2}+\frac{d}{2d_0}\right) =\frac{U_s}{2}+\frac{U_s}{2}\cdot\frac{d}{d_0};]

Die Werte für UC1und UR in obigen Maschenstz einsetzen:

[;U_m=\frac{U_s}{2}+\frac{U_s}{2}\cdot\frac{d}{d_0}-\frac{U_s}{2};]

[;U_m=\frac{U_s}{2}\cdot\frac{d}{d_0};]

Das ist nun exakt die Gleichung, wie sie im angegebenen Link geschrieben steht.
Valentin H.
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Anmeldungsdatum: 13.04.2012
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 26 Apr 2012 - 16:22:42    Titel: Differentialkondensator Spannungsdifferenz

GvC hat folgendes geschrieben:
Dann solltest Du zur besseren Nachvollziehbarkeit auch die dort verwendeten Größensymbole benutzen.

Stimmt, das währe wohl übersichtlicher gewesen. Ich hatte nur die ganze Zeit mein Beispiel im Kopf, da wurde das Ganze mit diesen Einheiten beschrieben Rolling Eyes

GvC hat folgendes geschrieben:
Im Übrigen musst Du nicht unbedingt über die Feldstärken gehen. Es reicht vollkommen die Kenntnis von

1. Maschensatz
2. Formel für die Kapazität eines Plattenkondensators
3. ohmsche Spannungsteilerregel
4. kapazitive Spannungsteilerregel

Mit Betonung auf Kenntnis und kennen tue ich leider nur die ersten beiden. Die beiden Spannungsteilerregeln kommen in unserer Vorlesung offenbar gar nicht vor. Ich habe mich aber einmal ein bisschen darüber informiert - mit diesen Regeln geht es wirklich leichter Very Happy
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