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p-te Einheitswurzel
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bwigosch
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Anmeldungsdatum: 10.10.2009
Beiträge: 84

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2012 - 09:14:44    Titel: p-te Einheitswurzel

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Man zeige, dass für p ungleich 2 im Körper der p-adischen Zahlen (R_p)keine von 1 verschiedenen p-ten Einheitswurzeln existieren.

Meine Überlegungen dazu:
x aus R_p ist p-te Einheitswurzel, wenn x^p = 1 ist. (Definition)
Jetzt muss ich zeigen, dass x nur gleich 1 sein kann, also dass x keine anderen Werte im Körper R_p annehmen kann.

Ich bin mir nicht sicher, aber ich vermute, dass man dies über einen indirekten Beweis (Beweis durch Widerspruch) zeigen könnte. Also man nimmt an, dass es ein x ungleich 1 gibt, sodass x^p = 1 ist. Diese Annahme führt man dann darauf zurück, dass x nur gleich 1 sein kann, wodurch unsere Annahme falsch war und obige Aufgabe bewiesen wurde.

Meine Frage ist nun:
Ist dieser Ansatz prinzipiell richtig, oder bin ich total auf dem falschen Weg? Wenn mein Ansatz passt, wie geht es dann weiter? Ich habe x ungleich 1 und x^p = 1. Wie zeige ich, dasss x nur gleich 1 sein kann?

Vielen Dank für die Hilfe schon im Voraus!
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 23547

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2012 - 09:40:47    Titel:

Der Ansatz ist ok. Versuche einfach wieder rekursiv eine Zahl zu konstruieren, die in der p-ten Potenz 1 ergibt. Du wirst feststellen, dass du für jede Stelle - in Abhängigkeit der vorhergehenden - nur genau eine Möglichkeit hast.


Cyrix
bwigosch
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Anmeldungsdatum: 10.10.2009
Beiträge: 84

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2012 - 10:22:00    Titel:

Hallo!

Also: x ist aus R_p und x^p = 1 (das sind die Voraussetzungen)
x ist ja eine Folge {x_0, x_1, x_2, ..., x_n, ...} ganzer Zahlen, wobei x_n kongruent x_(n-1) (mod p^n) ist. Ich nehme einmal an, mit "Stellen" sind diese x_i gemeint.
Ich denke nun, dass ich zeigen muss, dass (x_i)^p kongruent 1 (mod p^i) ist, aber sicher bin ich mir nicht. Wie kann ich jetzt "Du wirst feststellen, dass du für jede Stelle - in Abhängigkeit der vorhergehenden - nur genau eine Möglichkeit hast." verstehen? Und was ist mit rekursiver Konstruktion einer Zahl gemeint? Es tut mir leid, ich kann die Hinweise nicht deuten.
Ich bitte um Hilfestellungen!

Vielen Dank!
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 23547

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2012 - 10:25:02    Titel:

Fang doch mal mit x_1 an: Welche Zahlen (oBdA aus [0; p-1]) erfüllen x_1 ^ p == 1 (mod p)?

Cyrix
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