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funktionserstellung parabel aus bedingungen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> funktionserstellung parabel aus bedingungen
 
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tomtom65
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Anmeldungsdatum: 26.08.2012
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 26 Aug 2012 - 08:54:15    Titel: funktionserstellung parabel aus bedingungen

Hallo, brauche mal konkrete Hilfe: Ich muss die Funktionsgleichung einer Parabel erstellen und habe folgende Angaben.
Nullstellen bei 2 und -2.
Achsensymmetrie.
Steigung bei x=2 ist -8 und bei x=-2 ist 8.
Nach unten geöffnet.
Die Steigungen in den beiden Punkten ergibt sich aus der Pflicht eine andere Funktion dort zu berühren.
Das bedeutet soweit ich verstehe, dass meine 1. Ableitung im Punkt -2 dann 8 sein muss. richtig? und bei x=0 muss ich eine Extremstelle haben. also 1. Ableitung =0. Trotzdem komme ich nicht auf die richtigen Ansätze um zu rechen.(Bedingungsgleichungen)
Die Formel soll laut Aufgabenstellung g(x) = a-bx^2 sein. Also keine weiteren Potenzen.
Ich hoffe auf hilfe! Bin zum ersten mal hier und bitte um Nachsicht falls ich Formen und Regeln verletzt haben sollte.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2687

BeitragVerfasst am: 26 Aug 2012 - 12:01:20    Titel:

Weißt Du, warum der lineare Term fehlt?
tomtom65
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Anmeldungsdatum: 26.08.2012
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 26 Aug 2012 - 12:20:03    Titel:

Das sind alle Angaben, die ich habe. Hab mal gelesen, dass man mit einem gegebenen Punkt und der Steigung an diesem Punkt schon eine Funktionsgleichung erstellen kann. Kann ich aus meinen Angaben überhaupt eine Parabelgleichung erstellen?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2687

BeitragVerfasst am: 26 Aug 2012 - 12:31:24    Titel:

Ja, kann man. Und es ist einfacher, als Du denkst.

Zur Kontrolle:
f(x) = -2x^2 + 8

Die Aufgabe ist in wenigen Zeilen gelöst, wenn Du weißt, warum der lineare Term fehlt und wie man Nullstellen in eine Funktionsgleichung hineinpackt.

Wenn Du das nicht weißt, dann kannst Du natürlich auch über

f(x) = ax^2 + b

Bedingungen aufstellen (Nullstelle, Steigung)
Ideen?
tomtom65
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Anmeldungsdatum: 26.08.2012
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 26 Aug 2012 - 12:52:04    Titel:

Auf den Faktor vor x^2 hätte ich kommen können indem ich die Ableitung umkehre. Aber das ist wohl nur Bastelei. Auf den Schnittpunkt mit der y-Achse wäre ich aber rechnerisch nicht gekommen. Kannst du mir einen Tip geben wie ich Bedingungen in meinen Lösungsweg einbinde? Gibt es dazu eine anschauliche Internetseite? Habe gerade Besuch von Oma und melde mich heute Nachmittag wieder. Schon mal vielen Dank.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2687

BeitragVerfasst am: 26 Aug 2012 - 15:31:16    Titel:

Was heißt denn Nullstelle? Wie könnte so ein Term aussehen?
Du kennst beide Nullstellen der Parabel. Wie muss die Parabelgleichung aussehen, ob sie will oder nicht?
Stichwort: Linearfaktor !
tomtom65
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Anmeldungsdatum: 26.08.2012
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 26 Aug 2012 - 15:53:20    Titel:

So, da bin ich wieder. Da ich nicht weiß, wie man Nullstellen in eine Funktion hineinpackt und warum der lineare Teil fehlt, habe ich mich für den 2. Weg entschieden: Ich suche mir einen Punkt auf dem Graphen über den ich etwas weiß. Bsp (2|0). Ich weiß, das hier eine Nullstelle ist. also f(2)=0. f(2)=a2^2+b=0.
4a + b = 0.

Ferner weiß ich, dass die Funktion bei 2|0 die Steigung -8 haben muss.
also f'(2) = -8 mit f'(x) = 2ax
2a*2 = -8
a = -8/4
a = -2

mit diesem Ergebnis gehe ich in die obere Gleichung:
4*-2+b=0
-8 = -b
b = 8

Nun habe ich die Formel f(x) = -2x + 8.
Ich habe die Rechnung auch mit der anderen Nullstelle gemacht und bin zum gleichen Ergebnis gekommen.
Der Trick oder Knackpunkt an der Sache für mich war, mich nur auf die Bedingungen eines einzigen Punktes zu konzentrieren. Anfangs wollte ich zu viele Informationen mit einbeziehen und sah den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Gerne hätte ich jetzt noch den Lösungsweg mit Einbeziehung der Nullstellen in die Funktionsgleichung gemacht. Auch die Bedeutung des Fehlens des linearen Anteils (ich vermute da handelt es sich um ax) würde ich gerne noch erfahren. Wär schön wenn du nochmal hilfst. Bis jetzt erstmal vielen Dank
tomtom65
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Anmeldungsdatum: 26.08.2012
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 26 Aug 2012 - 16:08:46    Titel:

Upps, Fehler in der Begeisterung. Heißt natürlich f(x) = -2x^2+8.
Fehlt der Linearfaktor wegen 3. Binomische Formel?
(x+2)(x-2) = x^2 -4. Wenn x in der Klammer -2 oder 2 wird ist der ganze Ausdruck Null. Ergo: Nullstellen. Und weiter?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 2687

BeitragVerfasst am: 26 Aug 2012 - 17:40:15    Titel:

Der lineare Teil fehlt wegen der Achsensymmetrie.

Mein Weg:

f(x) = a(x-2)(x+2) (wegen Nullstellen) Ledlglich die Streckung/Stauchung ist unbekannt

Wegen f´(-2) = 8 -> f´(x) = 2ax
2a(-2) = 8 -> a=-2

Also f(x) = -2(x-2)(x+2) = -2(x^2-4) = -2x^2 + 8

Smile
tomtom65
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Anmeldungsdatum: 26.08.2012
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 26 Aug 2012 - 19:33:28    Titel:

Jau, das ist verständlich. Kannst du das mit der Achsensymmetrie und dem linearen Faktor noch mal an einem anderen Beispiel erklären? Ist der lineare Faktor für die seitliche Verschiebung verantwortlich? Danke und schönen Sonntag noch.
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