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nullstellen,hoch-tief-sattelpunkte/dringend
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> nullstellen,hoch-tief-sattelpunkte/dringend
 
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wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 13:24:48    Titel:

Man darf niemals aufgeben...

Vielleicht kann man Ihr ja noch im Nachhinein helfen...
sandra1983
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Anmeldungsdatum: 08.07.2005
Beiträge: 88

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 13:53:17    Titel:

ich versteh net wie ihr auf die nullstellen kommt!? ich muss erst irgendwie das hornerschema anwenden und dann, kp, komm mim hornerschema auch auf nix, ausführlicher bitte
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 13:56:48    Titel:

Wann ist x³ * ( x - 3 ) = 0

1. wenn x³ = 0 --> x = 0
2. wenn x - 3 = 0 --> x = 3
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 13:57:08    Titel:

naja.. in diesem fall sieht man das:

x^4-3x^3 = x³ * ( x - 3 )

du kannst das x³ ausklammern. dann kommst du auf den ausdruck auf der rechten seite. dieser kann nur dann 0 werden, wenn einer der faktoren null ist, also entweder x³ oder x-3 null ist. dann kommst du auf 0 und 3
sandra1983
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Anmeldungsdatum: 08.07.2005
Beiträge: 88

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 14:16:21    Titel:

ja nun noch die lösung zu der 2ten
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 14:17:56    Titel:

wild_and_cool hat folgendes geschrieben:
Bist Dir damit sicher ???

x^4+4x^3-20x^2-96x+45 hat echt hässliche Nulstellen...


Wie sieht's denn hiermit aus ???
sandra1983
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Anmeldungsdatum: 08.07.2005
Beiträge: 88

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 16:28:29    Titel:

ja aber das is ja kein ergebnis
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 10:27:22    Titel:

Ich meinte ja nur, ob die Gleichung so auch stimmt ???

Weil die Nullstellen auszurechnen irrwitzig kompliziert wird...
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 10:45:53    Titel:

Lösen der biquadratischen Gleichung x^4 + 4x³ - 20x² - 96x + 45 = 0


Die Gleichung liegt bereits in der Normalform x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - a/4 wird die Gleichung in die Form
y^4 + py² + qy + r = 0 gebracht, die kein kubisches Glied mehr aufweist.

(y - 1)^4 + 4(y - 1)³ - 20(y - 1)² - 96(y - 1) + 45 = 0

Statt auszumultiplizieren, kann man die neuen Koeffizienten auch direkt berechnen:

p = b - 3a²/8 = -26
q = a³/8-ab/2+c = -48
r = -(3a^4 - 16a²b + 64ac - 256d)/256 = 118

y^4 - 26y² - 48y + 118 = 0

Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0
gelöst werden.

z³ + 52z² + 204z + 2304 = 0

Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.


Lösen der kubischen Gleichung x³ + 52x² + 204x + 2304 = 0


Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y - 17,333333333333332)³ + 52(y - 17,333333333333332)² + 204(y - 17,333333333333332) + 2304 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -697,3333333333334
q = 2r³/27 - rs/3 + t = 9183,407407407407

y³ - 697,3333333333334y + 9183,407407407407 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -697,3333333333334 q = 9183,407407407407

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = 8524671,999999998.

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:


T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 2919,704094595889

u = kubikwurzel(-q/2 + T) = -11,86894335586409

v = kubikwurzel(-q/2 - T) = -19,584257627247037

y1 = u + v = -31,453200983111127

y2 = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·i = 15,726600491555564 - 6,6816581571982585·i

y3 = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·i = 15,726600491555564 + 6,6816581571982585·i


Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=52 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x1 = -48,78653431644447

x2 = -1,6067328417777664 - 6,68165815719826·i

x3 = -1,6067328417777664 + 6,68165815719826·i


Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung.

Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen ergab also für das z der
kubischen Resolvente:

z1 = -48,78653431644447

z2 = -1,6067328417777664 - 6,68165815719826·i

z3 = -1,6067328417777664 + 6,68165815719826·i


Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied
der Gleichung sein, hier also q² = 2304.
Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:

y1 = ( sqr(-z1 ) + sqr(-z2 ) + sqr(-z3 ) ) / 2

y2 = ( sqr(-z1 ) - sqr(-z2 ) - sqr(-z3 ) ) / 2

y3 = (-sqr(-z1 ) + sqr(-z2 ) - sqr(-z3 ) ) / 2

y4 = (-sqr(-z1 ) - sqr(-z2 ) + sqr(-z3 ) ) / 2


wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden muß, daß deren
Produkt gleich -q = 48 ist.

Die Wurzeln

sqr(48,78653431644447) = -6,984735808636176
sqr(1,6067328417777664 + 6,68165815719826·i) = 2,0589877431908232 + 1,6225589927125215·i
sqr(1,6067328417777664 - 6,68165815719826·i) = -2,0589877431908232 + 1,6225589927125215·i

erfüllen diese Bedingung.

Damit ergeben sich folgende Werte für y

y1 = -3,4923679043180886 + 1,6225589927125221·i

y2 = -3,4923679043180886 - 1,622558992712522·i

y3 = 5,551355647508911

y4 = 1,4333801611272652


und nach Subtraktion von a/4 ( = 1 ) die Lösungen der gegebenen

biquadratischen Gleichung:

x1 = -4,492367904318089 + 1,6225589927125221·i

x2 = -4,492367904318089 - 1,622558992712522·i

x3 = 4,551355647508911

x4 = 0,43338016112726524
sandra1983
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Anmeldungsdatum: 08.07.2005
Beiträge: 88

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 17:42:15    Titel:

Shocked dass ist mir nun doch nen bisschen zu hoch..... die nullstellen sollen wir irgendwie mit hornerschema, newtonverfahren oder pq-formel lösen..... hier dann wohl durch ein zusammenspiel von allem.... Question
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