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Hoffentlich einfaches Problem (Gradient, Vektoranalysis)
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david___
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Anmeldungsdatum: 04.01.2009
Beiträge: 75

BeitragVerfasst am: 21 März 2013 - 19:57:15    Titel: Hoffentlich einfaches Problem (Gradient, Vektoranalysis)

Hi Leute,
Ich bin gerade am Nacharbeiten einer Vorlesung und komme leider von einer Umformung nicht auf die andere.
Daher meine Frage, wie komme ich von

[;\vec E = - \operatorname{grad}(\phi);]

auf die folgende Gleichung:

[; \phi = - \int_{(s)} \vec E \cdot d \vec s;]?

Wobei s wohl

[;d s = \sqrt{(\delta x)^2+(\delta y)^2+(\delta z)^2};]

Hoffe meine Frage ist nicht allzu doof und einer von euch lieben Mitmenschen kann mir helfen Smile

Viele Grüße David
supernova85
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Anmeldungsdatum: 13.03.2013
Beiträge: 312

BeitragVerfasst am: 21 März 2013 - 20:54:26    Titel:

Setzte in die zweite Gleichung den Wert von E aus der ersten Gleichung ein. Dann hast du praktisch das Integral von der Ableitung von Phi ist gleich Phi.
david___
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Anmeldungsdatum: 04.01.2009
Beiträge: 75

BeitragVerfasst am: 21 März 2013 - 21:59:01    Titel:

Hi Supernova85,
erstmal danke für deine Antwort.
Ich habe entweder ein Brett vorm Kopf oder bin einfach zu dämlich.

Erstmal zur Klarstellung, ich bin mir nicht mal sicher, was [;d \vec s ;] bedeutet.
Ich vermute:
[;d \vec s =\left(\begin{array}{c} \delta x \\ \delta y \\ \delta z \end{array}\right);]
Dann komme ich aber leider bei Integration von
[; \phi = - \int_{(s)} -\phi \cdot \left(\begin{array}{c} \delta/\delta x \\ \delta/\delta y \\ \delta/\delta z \end{array}\right) \cdot d \vec s = 3 \cdot \phi + C ;]
Also habe ich wohl Bockmist berechnet. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Leider hatten wir in keiner Mathematikvorlesung Vektoranalysis, sondern jetzt nur in Elektrotechnik. Ich habe es aber hier gepostet, weil es ja wohl eher ein mathematisches Problem ist. Sad
supernova85
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Anmeldungsdatum: 13.03.2013
Beiträge: 312

BeitragVerfasst am: 21 März 2013 - 22:46:21    Titel:

Hi David,

Zitat:
[; \phi = - \int_{(s)} -\phi \cdot \left(\begin{array}{c} \delta/\delta x \\ \delta/\delta y \\ \delta/\delta z \end{array}\right) \cdot d \vec s = 3 \cdot \phi + C ;]


vor dem \phi hast du den Nablaoperator vergessen (Substitution von E mit Hilfe der Gleichung [;\vec E = - \operatorname{grad}(\phi);]):

[; \phi = - \int_{(s)} \operatorname{grad} -\phi .....

Bei dem Integral in der zweiten Gleichung in deinem ersten Thread handelt es sich um ein Kurvenintegral. Dabei ist d \vec s ein Wegelement. Kurz gefasst, du integrierst über die Divergenz von phi entlang einer Kurve von dem Anfangspunkt a=(a1,a2,a3) bis zum Endpunkt b=(b1,b2,b3). Das Resultat ist phi(b)-phi(a) (bei einem bestimmten Integral). Falls dein Bezugspunkt das Potential Null hat, erhältst du das Potential an dem Endpunkt der Kurve phi(b).
david___
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Anmeldungsdatum: 04.01.2009
Beiträge: 75

BeitragVerfasst am: 21 März 2013 - 23:10:38    Titel:

Ich dachte, dass ich den Nabla-Operator mit:
[;;]
[; \vec \nabla = \left(\begin{array}{c} \delta/\delta x \\ \delta/\delta y \\ \delta/\delta z \end{array}\right) ;]
in das Integral eingebaut habe. Dann habe ich gedacht, dass

[; \vec \nabla \cdot d\vec s = \left(\begin{array}{c} \delta/\delta x \\ \delta/\delta y \\ \delta/\delta z \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} \delta x \\ \delta y \\ \delta z \end{array}\right)= 3 ;] .

So kommt die "3" zustande. Die theoretische Aussage dieses Integrals habe ich schon verstanden, aber danke trotzdem für deine Erklärung Smile.
supernova85
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Anmeldungsdatum: 13.03.2013
Beiträge: 312

BeitragVerfasst am: 22 März 2013 - 00:00:40    Titel:

Zitat:
in das Integral eingebaut habe. Dann habe ich gedacht, dass

[; \vec \nabla \cdot d\vec s = \left(\begin{array}{c} \delta/\delta x \\ \delta/\delta y \\ \delta/\delta z \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} \delta x \\ \delta y \\ \delta z \end{array}\right)= 3 ;]
So kommt die "3" zustande. Die theoretische Aussage dieses Integrals habe ich schon verstanden, aber danke trotzdem für deine Erklärung


Das ist leider total falsch. Du kannst doch nicht einen Operator auf ds anwenden. ds ist nur ein Symbol (wie das große S im Integralzeichen) und lediglich besagt, nach welchem Parameter du integrierst. Der Nabla-Operator wird auf phi angewandt.

Nachdem du E durch div(phi) ersetzt hast, hast du praktisch den allgemeinen Fall von dem Hauptsatz der Integralrechnung und bist praktisch fertig (siehe meinem letzten Thread phi(b)-phi(a)).

Wenn du unbedingt das Kurvenintegral ausführen willst, dann muss du zunächst die Kurve parametrisieren. Danach muss du eine Variablentransformation für \vec s durchführen. Erst danach kannst du über div(phi(x)) integrieren.
david___
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Anmeldungsdatum: 04.01.2009
Beiträge: 75

BeitragVerfasst am: 22 März 2013 - 00:46:15    Titel:

Oh man,
du musst mich für total dämlich halten. Erstmal danke ich dir nochmals, dass du geantwortet hast. Mir war oben eigentlich schon bewusst, dass ich komplette kacke baue Very Happy
Wenn man ganz einfach zuerst den nabla operator auf phi anwendet und dann integriert, ist es total offensichtlich.
Ich entschuldige mich für meine Dämlichkeit, Problem ist gelöst, Danke nochmals Smile
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