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Bildmenge
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Laurentz
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
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BeitragVerfasst am: 18 Jan 2014 - 11:03:25    Titel: Bildmenge

Moin,

ich hab mal ne Frage Smile

Wie kann ich die Bildmenge einer Funktion ausrechnen? Ich weiß ja das das alle Werte sind, die Y annehmen kann.

Aber wenn ich jetzt eine Funktion habe z.b. y=(x-4)/((-x)^2+5x-4) und D=R\(1,4) kann ich nicht erkenn was die Bildmenge alles sein kann.

Wie geht man da vor? Rolling Eyes
hilber raum
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Anmeldungsdatum: 27.10.2012
Beiträge: 297

BeitragVerfasst am: 18 Jan 2014 - 11:41:46    Titel:

Für deinen speziellen Fall: Weisst du, was Kurvendiskussion ist?
Laurentz
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
Beiträge: 127
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 18 Jan 2014 - 11:45:06    Titel:

klar.
Die Aufgabenstellung ist: Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Injektivität und Bijektivität. Geben Sie die Bildmenge an.

Und ich dachte, da gibts irgendein Trick, als jedesmal eine Kurvendiskussion zu machen. Crying or Very sad
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2014 - 11:19:24    Titel: Re: Bildmenge

Laurentz hat folgendes geschrieben:
Moin,

Aber wenn ich jetzt eine Funktion habe z.b. y=(x-4)/((-x)^2+5x-4) Shocked

und D=R\(1,4) kann ich nicht erkenn was die Bildmenge alles sein kann.

Wie geht man da vor?


Shocked -> du solltest erst mal lernen, die Dinge richtig zu notieren:

das " - " vor dem (- x)^2 ist doch Unsinn -> es ist (-x)^2 = + x^2
aber offenbar ( SIEHE -> D=R\(1,4) ) sollte dein Nenner so aussehen:
-> ( - x^2 +5x-4)

und deshalb weisst du schon ,
dass deine Funktion für alle x ungleich 4 so aussieht: ->

f(x)=(- 1)/(x-1)

und damit ist -> GANZ OHNE KURVENDISKUSSION Laughing ->

g(x) = (x-4)/(-x^2+5x-4)
eine einfache Hyperbel mit einem Loch bei x=4
und den beiden Asymptoten x=1 und y=0

Cool
Laurentz
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
Beiträge: 127
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2014 - 12:00:15    Titel:

Also jetzt steh ich irgendwie auf dem Schlauch. Ich zeig euch einfach mal die Lösung:




Eigentlich will ich nur wissen wie die bei ii) Bildmenge-> R\( 1/3 , 0) kommen. Confused
hilber raum
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Anmeldungsdatum: 27.10.2012
Beiträge: 297

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2014 - 15:20:09    Titel:

Laurentz, ein klein wenig Kurvendis. macht schon Sinn (abgesehen davon, dass die Lösung zur Aufgabe ii auf dem Lösungszettel nicht richtig ist).

f2 ist auf folgenden Intervallen definiert: (-∞,1),(1,4),(4,∞)

Um eine Idee über den WB zu bekommen, kannst du dir das Verhalten von f2 bei Annäherung an die Intervallgrenzen ansehen (Rest ist wegen Stetigkeit klar).
Dann stellt du fest, dass (-∞,1) auf die pos. reelle Achse abgebildet wird (also 0 ausgenommen), dass (1,4) auf (-∞,-1/3) und (4,∞) auf (-1/3,0), wobei runde Klammern wie immer offene Intervalle bedeuten.

Damit ist klar, 0 und -1/3 gehören nicht zum WB, der ansonsten ganz R ist.
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