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mittelwertsatz der Integralrechnung
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> mittelwertsatz der Integralrechnung
 
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Mastles
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Anmeldungsdatum: 16.11.2016
Beiträge: 159

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2017 - 23:29:29    Titel: mittelwertsatz der Integralrechnung

Hey:)

Hier findet ihr die Aufgabe:
https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=1267413770310111825

Was ich bisher hab:
Der Mittelwertsatz sagt ja:
∫b(obere Grenze) a(untere Grenze) f(x)dx=(b−a)f(ξ)
Es gibt also ein ξ e[a,b].


Also setzt man statt dem Integral x^4 * cos(ξ) ein.
Und wegen 1/x^4 streicht sich das x^4.
Also hat man lim_x->0 cos(ξ) =1

Passt das so?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3142

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2017 - 00:04:48    Titel:

Der Weg gefällt mir.

Allerdings reicht mir "also hat man

lim cos(ξ) = 1"
x->0

nicht. Das Kürzen sehe ich noch ein.
Woher weißt Du, dass der Grenzwert 1 ist?
(Abgesehen davon, ist der angegebene Grenzwert 0)

Das muss man schon noch ein Tick ausführen, bzw. korrekter angehen.
Der letzte Schritt passt vorne und hinten nicht.
Mastles
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Anmeldungsdatum: 16.11.2016
Beiträge: 159

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2017 - 18:51:53    Titel:

Ich dachte weil x^4 <= epsilon <=2x^4
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3142

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2017 - 19:19:11    Titel:

Ja, das stimmt schon, aber beachte:

x->0 Integral x^4 bis 2x^4 = Integral 0 bis 0 = ?


Das musst Du hier noch ein wenig ausführen. Very Happy

Weil im Nachhinein bin ich mir nicht so ganz sicher mit dem Mittelwertsatz.
Die Idee ist nice.

Entwickelt man das Integral nach Taylor, so sieht man ein, dass der Grenzwert 0 ist.





usw.

Eine andere Möglichkeit sehe ich hier gerade nicht.

Die Idee mit er partiellen Integration war ein wenig zu voreilig.
Mein Verdacht ist, dass man da dann geschickt abschätzen kann.

Mit Taylor müsste man das dann einsehen können.

Das Vertauschen von Integral und Summe bedarf dann noch eine Rechtfertigung. Müsste aber klappen.

Es entsteht dann ein Polynom ohne Absolutglied. -> Grenzwert = 0.

Die Idee mit dem Mittelwertsatz sagt mir allerdings auch zu.

Ich bin aber noch nicht ganz durchgestiegen.
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2205

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2017 - 19:59:45    Titel:

Der gefragte Grenzwert ist 1 (wegen des 1/x^4) und die Argumentation mit dem Mittelwertsatz ist auch korrekt von der Idee und funktioniert. Ist aber natürlich nicht so schön aufgeschrieben hier.

PS: ist nicht epsilon!
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3142

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2017 - 20:24:15    Titel:

Ja, natürlich. Der Grenzwert ist 1.

Sorry an dieser Stelle.
Ich habe aus irgendwelchen Gründen einen Teil des Grenzwertes nicht beachtet. Shocked

Und ja, die Idee mit dem Mittelwertsatz ist doch der korrekte Ansatz.
(Taylor klappt auch)

Nochmal sorry. Da war ein kleiner Wurm bei mir drin.
Alles gut.
Mastles
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Anmeldungsdatum: 16.11.2016
Beiträge: 159

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2017 - 20:46:43    Titel:

Also weil lim x-> cos (dieses komische Zeichen) gegen 1 geht?
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2205

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2017 - 20:53:16    Titel:

Ich weiss nicht was "dieses komische Zeichen" sein soll...
Mastles
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Anmeldungsdatum: 16.11.2016
Beiträge: 159

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2017 - 10:05:44    Titel:

Das wie epsilon aussieht
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2205

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2017 - 20:58:20    Titel:

Hat das keinen Namen?
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