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Schwerpunktsberechnung mit Integral
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Al.Gaida
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Anmeldungsdatum: 15.09.2010
Beiträge: 56

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2017 - 15:38:49    Titel: Schwerpunktsberechnung mit Integral

Ich beschäftige mich grade mit dem Thema der Schwerpunktberechnung mittels Integrale.
Dabei sitze ich nun an folgender Aufgabe:

Ein Gebiet in der x-y-Ebene wird durch 3 Linien begrenzt:

x = 1; x = e und y = 1/x

Berechnen Sie den Schwerpunkt.

Die x-Koordinate ging dabei auch ziemlich leicht.
Als erstes habe ich die Fläche mittels Integral berechnet, die gleich eins ist.
Dann:



Womit ich auf e -1 komme.

Jetzt wollte ich das ganze für die y-Koordinate machen allerdings habe ich hier ja mehrere Probleme.

Zum einen, dass die "obere" Linie nun aus 2 Funktionen besteht. Einmal der aus x = e und y = 1/x. Hierfür würde ich die Fläche zweiteilen und dann aus den beiden einzelnen Schwerpunkten den gesamten SP gewichtet ermitteln.

Allerdings komme ich nun nicht bei der y = 1/x Geschichte weiter.
Da ich die Funktion von einer anderen Seite betrachte muss ich doch auch entsprechend die Funktion ändern.

Zuerst dachte ich hierbei an die Umkehrfunktion, allerdings "zeigt" die resultierende Funktion dann ja in die falsche Richtung.

Vielleicht gibt es ja auch einen viel einfacheren Weg um an die y-Koordinate zu kommen, allerdngs bin ich grade etwas festgefahren :/
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8244
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2017 - 17:12:56    Titel:

Das machst du einfach ganz formal und genauso wie für die x-Koordinate des Schwerpunkts.



Jetzt überlege dir zuerst, was dafür die Grenzen a und b sind. Und dann, was f(y) ist.

Für die x-Richtung hattest du die Fläche in infinitesimale Flächenstreifen zerlegt, welche die Breite dx und die Höhe f(x) hatten. Dann hast du die Drehmomente aufaddiert (sprich: integriert; ein Integral ist schließlich nur eine Summe von infinitesimalen Summanden), welche diese Flächenstreifen in Bezug auf die y-Achse (d. h. am Hebelarm x) ausüben.

Jatzt mach das gleich ein der anderen Richtung. Die Flächenstreifen haben jetzt die Höhe dy und sie üben ein Drehmoment auf die x-Achse aus (sprich: am Hebelarm y). Das sind schon mal die Faktoren dy und y aus der Formel. Fehlt noch das f(y) und das ist jetzt die Breite der Flächenstreifen. Überlege dir also, wie breit der Flächenstreifen isr, der den Abstand y von der x-Achse hat.

Gruß
mike
Al.Gaida
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Anmeldungsdatum: 15.09.2010
Beiträge: 56

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2017 - 18:06:43    Titel:

Also für die Grenzen hätte ich jetzt gesagt 1 und 0.
Allerdings liegt mein Problem glaube ich darin, dass ich die Funktion f(y) für die Breite nicht hinbekomme.
Bei dem X-Teil war diese ja durch 1/x gegeben, aber für Y hat man doch einmal 1/x und daran schließt dann ja im Schnittpunkt x = e an.

Ich stelle mir das ganze System für Y einmal nach links gedreht vor, ich weiß aber nicht ob das richtig ist.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8244
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2017 - 21:10:47    Titel:

Das ist richtig mit nach links gedreht. (Zumindest für die leihtere Vorstellbarkeit)

Und dann beginnen die Flächenstreifen immer bei 1 und gehen bis wo?

Gruß
mike
Al.Gaida
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Anmeldungsdatum: 15.09.2010
Beiträge: 56

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2017 - 10:10:07    Titel:

Wenn ich das System jetzt gedreht berachte, müsste dann doch die X-Achse die begrenzende Seite sein, also dachte ich, dass sie bis 0 gehen.

Es sei denn die Vorstellung ist so falsch, dann wäre meine andere Vermutung, dass entlang der Funktion 1/x gehen, dann wäre der äußerste Wert 1/e?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8244
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2017 - 10:37:14    Titel:

Lies dir nochmal durch, was ich dazu geschrieben habe.

Es geht darum, wie breit die Flächenstreifen (vor der Drehung) sind (oder wie hoch nach der Drehung, aber eigentlich muss da nix gedreht werden).

Sprich: Von welchem x-Wert bis zu welchem x-Wert sie reichen.
Denn dieses Länge ist dafür maßgeblich, welches Drehmoment der Streifen auf die x-Achse ausübt.

Gruß
mike
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