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Beh.: span{1, cos(x), ..., cos(Nx)} auf (0, pi) Haar-Raum
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Beh.: span{1, cos(x), ..., cos(Nx)} auf (0, pi) Haar-Raum
 
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Schwarzes Smartie
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BeitragVerfasst am: 23 Aug 2018 - 12:39:07    Titel: Beh.: span{1, cos(x), ..., cos(Nx)} auf (0, pi) Haar-Raum

Hallo zusammen,

ich möchte zeigen, dass
auf ein Haar-Raum ist.
In Anlehnung an

[url=https://books.google.de/books?id=Oa7wmJg-55IC&pg=PA40&dq=sin(x)+sin(nx)+%22Haar+system%22&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwimv9v7-4LdAhWLZVAKHYujBcMQ6AEINjAC#v=onepage&q=sin(x)%20sin(nx)%20%22Haar%20system%22&f=false]hier[/url]

wollte ich zeigen, dass für p.w. verschiedene gilt:

Aber mir fällt da leider keine passende trigonometrische Identität oder ähnliches ein, um die obige Matrix z.B. zu einer Matrix des Vandermonde-Typs umzuformen...

Vielen Dank für Hilfe!
LG


Zuletzt bearbeitet von Schwarzes Smartie am 23 Aug 2018 - 14:45:06, insgesamt 3-mal bearbeitet
Schwarzes Smartie
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BeitragVerfasst am: 23 Aug 2018 - 13:08:43    Titel:

Also nach Ersetzen von , natürlich...
M_Hammer_Kruse
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BeitragVerfasst am: 23 Aug 2018 - 14:06:05    Titel:

Was willst du mit deinem Nachsatz ausdrücken? Was ist da natürlich?

Im Übrigen:
- In der Überschrift zu deiner Frage steht ein halboffenes Intervall, im Beitrag selbst ein abgeschlossenes. Zumindest x_i=0 musst du aber ausschließen, weil die entsprechende Spalte der Determinante sonst nur Einsen enthält.
- Deine Determinane enthält N+1 Spalten, aber N Zeilen. Da stimmt was nicht.

Gruß
mike
Schwarzes Smartie
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Beiträge: 616
Wohnort: Paradise City a.k.a. Köln :)

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2018 - 14:33:48    Titel:

Habe es korrigiert. Danke
Ach so, ich dachte, wenn man jedes der ersetzt, kommt man der polynomiellen Struktur, die man für eine Vandermonde-Matrix braucht, ein klein bisschen näher...
M_Hammer_Kruse
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BeitragVerfasst am: 23 Aug 2018 - 14:56:55    Titel:

Ist das Intervall jetzt nicht gerade verkehrtrum (links abgeschlossen, rechts offen)? Damit hast du doch für eine Spalte, die mit der linken Randspalte übereinstimmt.

Wenn es überhaupt etwas werden soll, dann muss der Definitionsbereich doch sein.

Dann scheint es mir aber so zu sein, dass das Verschwinden der Determinante im Widerspruch zur paarwesen Verschiedenheit steht. Für N=1 und N=2 ist es jedenfalls so und ich vermute, dass sich das für alle Werte von N fortsetzt.

Gruß
mike
Schwarzes Smartie
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Wohnort: Paradise City a.k.a. Köln :)

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2018 - 15:03:41    Titel:

M_Hammer_Kruse hat folgendes geschrieben:

Dann scheint es mir aber so zu sein, dass das Verschwinden der Determinante im wiederspruch zur paarwesen Verscheidenheit steht. Für N=1 und N=2 ist es jedenfalls so und ich vermute, dass sich das für alle Werte von N fortsetzt.

Ja, das stimmt. Genau das möchte ich zeigen. (Es steht ).
M_Hammer_Kruse
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BeitragVerfasst am: 23 Aug 2018 - 15:17:24    Titel:

Und es ist geradezu trivial, mit reinen Determinantenoperationen daraus eine Vandermondesche zu erzeugen:

Benenne erstmal um in . Dann ist , usw.
Das sind alles Polynome in , die ihrerseits abwechselnd jeweils rein gerade oder ungerade sind.

Nun kannst du die Eins-Spalte der Determinante passend zur dritten, fünften, siebten usw. Spalte addieren, so dass da überall das absolute Glied weg ist. Die dritte Spalte enthält dann nur noch Quadrate. Die verarbeitest du genauso in der fünften, siebten usw. Spalte. Dann hat die fünfte Spalte nur noch vierte Potenzen und du machst damit dann genauso weiter.

Auf diese Weise werden die betreffenden Spalten alle zu reinen Potenzspalten. Ganz analog verfährst du mit der zweiten, vierten, sechsten usw. Spalte. Am Ende hast du - abgesehen von den Koeffizienten der Potenzen - eine Determinante in Vandermonde-Form.

Gruß
mike

P. S.: Die Bedingung der paarweisen Verschiedenheit brauchst du dann gar nicht für das Verschwinden der Determinante. Auch der Ausschluss der Grenzen ist dafür nicht notwendig. Das mag dann alles nur für andere Eigenschaften des Haar-Raums notwendig sein.

P.P.S.: Unsinn; die braucht man natürlich doch beide. Die Verschiedenheit, damit in der Produktdarstellung des Wertes der Vandermodeschen Determinante kein Faktor verschwindet. Und den Ausschluss zumindest von x_i=0, weil die Eins-Spalte schon eine Spalte mit solchem x_i-Wert darstellt.


Zuletzt bearbeitet von M_Hammer_Kruse am 23 Aug 2018 - 15:56:30, insgesamt 3-mal bearbeitet
Schwarzes Smartie
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BeitragVerfasst am: 23 Aug 2018 - 15:30:34    Titel:

M_Hammer_Kruse hat folgendes geschrieben:

Benenne erstmal um in . Dann ist , usw.

Danke, genau sowas hat mir gefehlt...
Habe das gerade gegoogelt (für weitere Leser hier der Link zur Chebyshev-Polynom-Darstellung), also ich kannte die nicht...
M_Hammer_Kruse
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BeitragVerfasst am: 23 Aug 2018 - 15:41:21    Titel:

Die bekommst du ganz einfach aus der Eulerformel .

Da setzt du für den vielfachen Winkel an:

Dann entwickelst du den ganz rechten Term nach dem binomischen Lehrsatz und vergleichst den Real- und Imaginärteil mit der Darstellung ganz links.

Das liefert für und Ausdrücke, in denen sich Sinus- und Kosinus-Terme mischen. Sie lassen sich aber leicht zu reinen Sinus- oder Kosinus-Formeln machen.

Gruß
mike[/tex]
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