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irreduzible Polynome
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trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 16:07:26    Titel: irreduzible Polynome

Hi, habe eine kleine Frage zur Vorgehensweise bei dieser Aufgabe.

Welche der folgenden Polynome f_{i} \in (Z/2Z)[x] sind irreduzibel
in (Z/2Z)[x]:

f_{1} = x^5 + x + 1

f_{2} = x^6 + x^2 + x + 1

f_{3} = x^5 + x^4 + 1

gibt es hier gewisse standardpolynome, die man durchteste muss?

z.B. ist f_{3} ja teilbar durch (x^2 + x + 1)
also ist f_{3} reduzierbar.

Aber wie kommt man auf dieses Polynom (x^2 + x + 1) ??
Und wie sieht es aus bei rreduziblen Polynomen, welche Polynome muss man dann testen um darauf zu kommen, dass es irreduzible ist??

Danke für eure Hilfe....cu
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2005 - 20:04:15    Titel:

Eine sehr interessant Frage. Ich habe ein paar Versuche unternommen, einen Zusammenhang eigenhändig einzusehen und bin gescheitert. Ich kann Dir so auf die Schnelle nur sagen, wie Du auf x^2+x+1 kommst.

Eine übliche Vorgehensweise (bei Polynomfaktorisierung) ist Grad(p)+1 Stellen zu wählen und durch die Auswertungen des Polynoms ein Interpolationspolynom zu legen. Doof nur, dass im Gegensatz zu reellen Interpolation die in Z/nZ nicht mehr eindeutig ist, da mehrere Polynome durch gleiche (endliche) Stellen durchgehen.

Dein Polynom kommt raus, wenn man annimmt, dass das Polynom nicht konstant und nicht linear ist und p(0) = p(1) = 1 ist. Durch Lagrange-Interpolation bekommst Du x^2+x+1.

Ich rede gerne darüber, wenn Du noch Anhaltspunkte bzw. Anregungen hast. Ich vermute, deine Fragen kann man beantworten, indem man in ein Computer-Algebra-Buch reinschaut.
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2005 - 17:19:57    Titel:

hehe...sorry hatte erst jetz mal wieder zeit gefunden...


also LaGrange interpolation kenn ich garnicht :D

das muss noch irgendwie anders gehen.

Zur not gucke ich halt doch einige durch :D

man sieht ja z.B. bei f_{3} = 0 in Z/2Z keine reellen Lösungen (0 oder 1) hat,
dann könnte man sich halt Polynome raussuchen, die , wenn man sie 0 setzt auch keine reellen lösungen haben und testen.

in Z/2Z oder Z/3Z und polynomen mit grad(p) < 5 geht das ja noch einigermassen. :D
Danach kommt deine Lösung wieder als Favorit in betracht ^^

Ich muss mir das auch alles nomma in ruhe angucken und mich mal in büchern und im i-net schlau machen.

Wenn jemand was weiss..melden !!! :D

cu
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