Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Schichtkegel
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Schichtkegel
 
Autor Nachricht
Matheniete
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 23.04.2005
Beiträge: 32
Wohnort: Essen

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 18:59:09    Titel: Schichtkegel

Ein Kegel mit der Höhe h und dem Grundkreisradius r sei in zylinderförmige Schichten gleicher Höhe "zerlegt". Vz sei das Volumen des Zylinders, der die gleiche Grundfläche und Höhe wie der Kegel besitzt. Bestimmen Sie das Volumen Vsch dieses "Schichtenkegels" mit 10 Schichten:
V sch = k10 * Vz
Berechnen Sie k10.
sambalmueslie
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 19:43:04    Titel:

Hast dazu vielleicht ein Bild oder so???
Matheniete
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 23.04.2005
Beiträge: 32
Wohnort: Essen

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 21:02:48    Titel:

Leider habe ich keine Zeichnung dazu....
Ich weiß auch nicht, wie die das meinen.
Eben einen 3D Kegel in 10 Schichten unterteilt...

Ich fürchte ich bin da keine große Hilfe.
rbenz
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 24.08.2005
Beiträge: 15
Wohnort: Frankfurt

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2005 - 22:08:00    Titel:

Hi,

als erste Überlegung skizziere man das 3-Eck, aus dem der Kegel als Rotationskörper entsteht.

Bei einem 1-schichtigen Kegel ist der Zylinder doppelt so gross wie der Kegel, dh
Schicht 1: 1 Dreieck -> K=1, Z=2

k1 = Zylinder/Kegel = Z/K = 2/1 = 2

Man erweitere nun auf eine 2-schichtigen Kegel:
Man hat nun
Schicht 1: 1 Dreieck -> K=1, Z=2
Schicht 2: 1 Rechteck (2 Dreiecke) und 1 Dreieck -> K=3, Z=4
Summe: K=4, Z=6
k2 = Z/K = 6/4 = 1,5

<Ab hier ein bissel formaler>
Der 3-schichtige Kegel hat nun
Schicht 1: 0 Rechtecke (0 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=1, Z=2
Schicht 2: 1 Rechtecke (2 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=3, Z=4
Schicht 3: 2 Rechtecke (4 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=5, Z=6
Summe: Kegel=9, Z=12
k2 = Z/K = 12/9 = 4/3 ~ 1,33

Der <seufz> 4-schichtige Kegel hat nun
Schicht 1: 0 Rechtecke (0 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=1, Z=2
Schicht 2: 1 Rechtecke (2 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=3, Z=4
Schicht 3: 2 Rechtecke (4 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=5, Z=6
Schicht 4: 3 Rechtecke (6 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=7, Z=8
Summe: Kegel=16, Z=20
k2 = Z/K = 20/16 = 5/4 = 1,25

Der <schluchz> 5-schichtige Kegel hat nun
Schicht 1: 0 Rechtecke (0 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=1, Z=2
Schicht 2: 1 Rechtecke (2 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=3, Z=4
Schicht 3: 2 Rechtecke (4 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=5, Z=6
Schicht 4: 3 Rechtecke (6 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=7, Z=8
Schicht 5: 4 Rechtecke (8 Dreiecke) + 1 Dreieck -> K=9, Z=10
Summe: Kegel=10, Z=22
k2 = Z/K = 30/25 = 6/5 = 1,2

Und wenn sie nicht gestorben sind.... oder sie entwicken eine Reihe :o)
Z: 2,4,6,8,10 = Summe aller geraden Zahlen bis 2*k
K: 1,3,5,7,9 = Summe aller ungeraden Zahlen bis 2*k-1
<Sehr nett...Rechenfaulheit hat was für sich...>

Für K=10
Z = Summe aller geraden Zahlen bis 2*k = 2*10 = 20
Z = 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 = 5 * 22 = 110 (spicken beim alten Gauss)
Z = Summe aller ungeraden Zahlen bis 2*k-1 = 2*10-1 = 19
K = 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 5 * 20 = 100

Schlussendlich: k10 = 110 / 100 = 1,1
(oder hab ich da nen Bock geschossen?)

Und <oh Erleuchtung>
Für n -> unendlich ist k=1 -> Integral <tratra>
Hiob
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 25 Aug 2005 - 04:00:38    Titel:

rbenz hat folgendes geschrieben:

Bei einem 1-schichtigen Kegel ist der Zylinder doppelt so gross wie der Kegel, dh
Schicht 1: 1 Dreieck -> K=1, Z=2

Hmm, muß das Volumen eines spitzen Kegels nicht 1/3 des Volumens des zugehörigen Zylinders sein?
Vermutlich ist das mit dem Integral von 0 bis 1 unter x² herzuleiten. Aber Deine Idee ist cool. Demnach ist die Aufgabe quasi die Anwendung einer dreidimensionalen Intervallschachtelung als Vorbereitung der Aufgabe, das Volumen des Kegels als Grenzwert der Volumina der Schichtzylinder zu erhalten. Huch, viele Genitive. Nur daß, während der Kegel sein Volumen beibehält, die wachsende Zahl der Schichten der Zylinder ihr Volumen immer mehr verringert. Mal als Veranschaulichung (Z3 läßt sich nicht gut darstellen):
Code:
K      Z1     Z2    Z4
       ______ ____   ___
|\     |    | |  |   |_|_
| \    |    | |__|__ |__|_
|  \   |    | |    | |___|_
|___\  |____| |____| |____|



Also etwa so:
Vorbereitung:
Ein Kreisschnitt ist eine Schnittebene des Kegels, die parallel zur Grundfläche ist. Die Fläche dieses Kreises hängt von seinem Radius ab, und sein Radius hängt vom Abstand des Kreises zur Grundfläche (also seiner Höhe) ab.
Sei der Grundkreisradius bezeichnet als R und die Höhe des Kegels als H. Es gelte R>0 und H>0.
Dann ergibt sich der Radius des Kreises auf der Höhe h als r(h) = R*(1 - h/H).
Dann ergibt sich die Fläche des Kreises mit Radius r als A(r) = Pi*r².
Dann ergibt sich die Fläche des Kreises auf Höhe h als
A(r(h)) = Pi*(r(h))², also
A(h) = Pi*(R*(1 - h/H))².

Das Volumen des Kegels ist das Integral dieser Flächenfunktion von 0 bis H über h ergibt sich so
V_K
= Int[0|H](A(h)dh)
= Int[0|H] (Pi*(R*(1 - h/H))²)dh
= Int[0|H] (Pi*(R - Rh/H)²)dh
= Int[0|H] (Pi*(R² - 2R²h/H + R²h²/H²))dh
= Int[0|H] (Pi*(R² - h*2R²/H + h²*R²/H²))dh
= Int[0|H] (Pi*R² - h*Pi*2R²/H + h²*Pi*R²/H²)dh
= (h*Pi*R² - 1/2*h²*Pi*2R²/H + 1/3*h³*Pi*R²/H²)[0|H]
= (h*Pi*R² - h²*Pi*R²/H + 1/3*h³*Pi*R²/H²)[0|H]
= (H*Pi*R² - H²*Pi*R²/H + 1/3*H³*Pi*R²/H²)-(0)
= (H*Pi*R² - H*Pi*R² + 1/3*H*Pi*R²)-(0)
= 1/3*H*Pi*R²

Boah, hat beim ersten Versuch geklappt. Hätt ich nich drauf gewettet.

1-schichtiger Zylinder:
Nun ja, das Volumen des Zylinders gleicher Höhe, berechnet man einfach als V_Z1 = H*Pi*R². Also das Dreifache des Kegelvolumens:
k1 = V_Z1/V_K = H*Pi*R²/(1/3*H*Pi*R²) = 3

Man erweitere nun auf einen 2-schichtigen Zylinder:
Man hat nun einen großen Zylinder unten, der als Grundfläche die Grundfläche des Kegels hat und halb so hoch wie der Kegel ist. Auf diesem Zylinder sitzt ein kleinerer, der ebenfalls halb so hoch wie der Kegel ist, aber dessen Grundfläche nur noch so groß ist wie der Kreisschnitt des Kegels auf seiner halben Höhe.
Da der Kreisschnitt auf halber Höhe (h=H/2) ist, ist der Radius der Kreisfläche r=r(h)=r(H/2)=R*(1 - h/H)=R*(1 - (H/2)/H)=R*(1 - 1/2)=R/2.
Dann beträgt das Volumen des kleineren Zylinders
V_klein = H/2*Pi*(R/2)² = 1/8 * H*Pi*R²,
das Volumen des größeren
V_groß = H/2*Pi*R² = 1/2 * H*Pi*R²
und damit das Gesamtvolumen des 2-schichtigen Zylinders
V_Z2 = V_klein+V_groß = 5/8 * H*Pi*R².
Also gilt
k2 = V_Z2/V_K = (5/8 * H*Pi*R²)/(1/3*H*Pi*R²) = 15/8

Der 3-schichtige Zylinder hat nun eine obere, eine mittlere und eine untere
Zylinderschicht.
Der untere Zylinder hat die gleiche Grundfläche wie der Kegel und ein Drittel seiner Höhe. Der mittlere Zylinder hat 2/3 des Grundflächenradius und ebenfalls ein Drittel der Höhe des Kegels. Der obere Zylinder hat 1/3 des Grundflächenradius und ein Drittel der Höhe des Kegels.
Also ergeben sich
V_oben = H/3*Pi*(R/3)² = 1/27 * H*Pi*R²,
V_mitten = H/3*Pi*(2*R/3)² = 4/27 * H*Pi*R²,
V_unten = H/3*Pi*R² = 1/3 * H*Pi*R²
und damit
V_Z3 = 14/27 * H*Pi*R².
Dann ist
k3 = V_Z3/V_K = (14/27 * H*Pi*R²)/(1/3*H*Pi*R²) = 14/9.

Nun noch den 4-schichtigen Zylinder und dann allgemein und dann gleich zum letzten.
Z4 hat vier Schichtzylinder die alle ein Viertel der Höhe des Kegels haben und von oben nach unten die Radien 1/4*R, 2/4*R, 3/4*R und 4/4*R. Also ergeben sich
V_4,1 = H/4*Pi*(R/4)² = 1/64 * H*Pi*R²
V_4,2 = H/4*Pi*(2*R/4)² = 4/64 * H*Pi*R²
V_4,3 = H/4*Pi*(3*R/4)² = 9/64 * H*Pi*R²
V_4,4 = H/4*Pi*(4*R/4)² = 16/64 * H*Pi*R²
also
V_Z4 = 15/32 * H*Pi*R².
Dann ist
k4 = V_Z4/V_K = (15/32 * H*Pi*R²)/(1/3*H*Pi*R²) = 45/32.

Der i-schichtige Zylinder hat i Zylinderschichten, die alle ein i-tel der Höhe des Kegels haben und der j-te Zylinder von oben hat den Radius j/i*R.
Es ergibt sich als Volumen des j-ten Schichtzylinders des i-schichtigen Zylinder
V_i,j = H/i*Pi*(j*R/i)² = j²/i³ * H*Pi*R²
und als Gesamtvolumen von Zi
V_Zi
= V_i,1 + V_i,2 + .. + V_i,i
= (1²/i³ + 2²/i³ + .. + i²/i³) * H*Pi*R²
= i*(i+1)*(2i+1)/(6i³) * H*Pi*R².
Dann ist
ki = V_Zi/V_K = (i*(i+1)*(2i+1)/(6i³) * H*Pi*R²)/(1/3*H*Pi*R²) = i*(i+1)*(2i+1)/(2i³)

Der 10-schichtige Zylinder hat demnach ein Volumen von
V_Z10 = 10*11*21/6000 = 2310/6000 = 77/200
und dann ist
k10 = 10*11*21/2000 = 231/200 = 1,155

rbenz hat folgendes geschrieben:

Schlussendlich: k10 = 110 / 100 = 1,1
(oder hab ich da nen Bock geschossen?)
Und <oh Erleuchtung>
Für n -> unendlich ist k=1 -> Integral <tratra>

Das warn Bock, aber die Erleuchtung ist die Erleuchtung.
Hmm, ob das zu lang zum Lesen war?
rbenz
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 24.08.2005
Beiträge: 15
Wohnort: Frankfurt

BeitragVerfasst am: 25 Aug 2005 - 20:38:48    Titel:

Hi,

ja, leider ein Bock... Der Kegel hat in der Tat nur 1/3 des Zylindervolumens (hätte ich doch nur in die Formelsammlung geguggt), da geht von der ebenen Fläche bei der Rotation um die Höhenachse etwas verloren...

Trotzdem:
Hiob ist offenbar Mathematicker, ich bin (denkfauler) Ingenör...
Deshalb will ich nicht das Integral über die Höhe des Körpers bilden, sonden mit um die Höhenachse rotierenden Körpern arbeiten.

Vielleicht fällt mir dazu noch was ein (Formelsammlung ist unsportlich).

Anyway: Heute ist Discoabend... nix Mathe :o)
Mathenachhilfekandidat
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 17.04.2006
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 06 Jul 2006 - 17:36:30    Titel:

Sorry, dass ich das nochmal hochhole, aber ich lern gerade für eine Klausur und da haben wir SEHR, SEHR ähnliche Aufgaben gemacht......

Ich versuche an dieser Aufgabe eine Art Einstieg zu finden und mich an der Lösung zu orientieren.......


Was meint ihr??? Ist Hiobs Lösung richtig so???????
Mathenachhilfekandidat
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 17.04.2006
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 06 Jul 2006 - 23:32:04    Titel:

Push Wink

Bitte bitte; kann einer Hiobs Rechnung bestätigen oder eine kürzere Alternative anbieten??????????ß

Bitte Bitte Bitte Bitte...
Winni
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 07 Jul 2006 - 13:21:42    Titel:

Hallo !

Im Prinzip stimmts und ist auch schön erklärt.

Aber einfacher gehts vielleicht so:

Gesamthöhe: h
Grundkreisradius des Kegels bzw. Ein-Zylinders: r
Volumen des Ein-Zylinders: Vz = pi*r²*h
Volumen des Kegels: Vz/3
Höhe der Schicht-Zylinder: h/n
Volumen des k-ten Zylinders mit Radius r(k):
pi*r(k)²*h/n mit r(k) = r*(1-(k-1)/n)

Gesamtvolumen Vsch = Summe(k=1 bis n)(pi*r(k)²*h/n)
= Vz*(1/n)*Summe(k=0 bis n-1)(1-k/n)²
-> Vsch/Vz = (1/n)*Summe(k=0 bis n-1)(1-k/n)²
= (1/n)*Summe(k=0 bis n-1)(1-2k/n+k²/n²)
= (1/n)*(n - (n-1)n/n + ((n-1)n(2n-1)/6)/n²)
= 1 - (1-1/n) + (1-1/n)(2-1/n)/6
konvergiert gegen 1-1+1/3 = 1/3 für n->unendlich .

Für Deinen Fall einfach n=10 setzen.
Mathenachhilfekandidat
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 17.04.2006
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 07 Jul 2006 - 16:55:51    Titel:

Boah super Winni!!!!!!!!!!

Vielen vielen vielen Dank!!!!!!!

Deine Lösung hab ich im Gegensatz zu der anderen sofort verstanden!!!!!!

Mit besten Grüßen

Der MNKandidat
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Schichtkegel
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum