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Knobelaufgabe 6. Klasse
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wickie
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Anmeldungsdatum: 09.04.2004
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 01 Sep 2005 - 18:37:42    Titel: Knobelaufgabe 6. Klasse

und ich habe keine Plan Sad

In einem alten Märchen hat ein Herrscher 100 Gefangene.
Im Gefängnis gibt es Zellen mit den Nummern 1 bis 100 und ebenfalls
100 Wärter. Alle Zellen sind abgeschlossen. Die Schlüssel der Wärter
passen in jedes Schloß. An seinem Geburtstag lässt der Herrscher einige seiner Gefangenen nach einer sonderbaren Methode frei:
Der erste Wärter schließt alle Zellen auf. Der zweite schließt jede zweite Zelle wieder zu. Der dritte Wärter schließt an jeder dritten Zelle. War sie zugeschlossen, ist sie nun auf. War sie aufgeschlossen, ist sie nun zu.
So geht es bis zum 100. Wärter weiter.
Die Gefangenen in den dann offenen Zellen sind dann frei.

a) Welche Zellen sind am Ende offen? Wie viele Gefangene kommen frei?
b) Wie viele Wärter haben an der 100. Tür ihren Schlüssel gedreht?


Ich wollte meinen Sohn mal helfen, habe aber keinen Plan ....
Würde mich sehr über Lösungen bzw. Ansätze dazu freuen.

Ein schönes we

wickie
Crocker
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Anmeldungsdatum: 01.07.2005
Beiträge: 1127

BeitragVerfasst am: 01 Sep 2005 - 18:42:28    Titel:

Wie wärs mit Bleistift und Papier? Hundert Kästen malen und entsprechend markieren.
b) 2 Wärter

Das kleine Einmaleins!
wickie
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Anmeldungsdatum: 09.04.2004
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 01 Sep 2005 - 18:48:11    Titel: THX

Das wollte ich eigentlich nicht ...
hatte gehofft man könnte es rechnerisch lösen.


wickie
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 01 Sep 2005 - 19:15:20    Titel:

ich nummeriere mal die wärter und türen von 1-100 durch Smile
wieviele wärter schließen die n-te tür auf/zu?
sicherlich keiner der wärter mit nummern größer als n.

einfach mal für irgendeine tür ausprobieren... dann weiterlesen

=> man bemerkt, dass genau die wärter zur tür n kommen, deren nummer ein teiler von n ist.

die frage ist nun, ob die anzahl der teiler einer zahl gerade oder ungerade ist Smile
die anzahl der teiler herauszufinden (per formel) ist nun nicht wirklich stoff der 6. klasse...
siehe zb.: (bissel runterscrollen)
http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/ss_01/beller/Seminar/HTML/pz3.htm

geklaut aus dem link mit ähnlichen bezeichnungen ist die anzahl der teiler von n:
t(n)=(a_1+1)*(a_2+1)*...*(a_m+1)
wobei die a_i also die potenzen der primzahlen sind, die n teilen.

t(n) ist genau dann ungerade, wenn alle faktoren der zahl ungerade sind. (wenn ein faktor gerade ist, ist gleich t(n) gerade)
deshalb müssen alle a_i gerade sein.
das wiederrum bedeutet, dass n eine quadratzahl ist.
man könnte nämlich schreiben
n=(p_1^b_1*p_2^b_2*...p_m^b_m)^2, wobei b_i := a_i/2 ist.

das heisst also, genau die türen, deren nummer eine quadratzahl ist, wurden eine ungerade anzahl mal auf- und zugeschlossen, sind also am ende offen. und genau die gefangenen von da kommen also frei, sonst leider keiner Smile
wieviele sind das? genau 10, nämlich gerade alle quadratzahlen von 1-100 (1,4,9,...,100)

wieviele wärter waren an der 100. tür? gerade soviele wie 100 teiler hat.
als 6.-klässler bleibt einem nix andres übrig, als zu zählen Smile
ich machs kurz:
100=2^2*5^2 => t(100)=3*3=9 (siehe oben). also 9 wärter Smile

ich hab mir eben noch überlegt, ob man ohne den formelkram verstehen kann, wieso gerade die türen, deren nummern quadratzahlen sind, offen sind am ende... ich denke, das sieht man ein, wenn man drüber nachdenkt - aber als 6.klässler ist das schon ne gute leistung, wenn man das erkennt Smile
wickie
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Anmeldungsdatum: 09.04.2004
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2005 - 07:23:39    Titel: THX

Vielen Dank!!!



wickie
nebukadnezar
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Anmeldungsdatum: 30.08.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2005 - 13:28:06    Titel:

Ist ja soweit schon gelöst, mit den Quadratzahlen....

aber bei Frage a) würde ich einfach dazu tendieren, dass alle weg sind
oder welcher Gefangene würde warten bis die Tür wieder zu ist? Rolling Eyes

Ist doch wie, drei Vögel sitzen auf dem Dach und der Jäger schiesst einen runter. Wieviel Vögel sitzen jetzt auf dem Dach?
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 00:24:09    Titel:

Crocker hat folgendes geschrieben:

b) 2 Wärter


wie kommst du bitte darauf? wenn man es sich logisch überlegt, dann ist doch klar, was schon yushoor sagte:

yushoor hat folgendes geschrieben:

wieviele wärter waren an der 100. tür? gerade soviele wie 100 teiler hat.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 00:29:39    Titel:

yushoor hat folgendes geschrieben:
die anzahl der teiler herauszufinden (per formel) ist nun nicht wirklich stoff der 6. klasse...

ich hab mir eben noch überlegt, ob man ohne den formelkram verstehen kann, wieso gerade die türen, deren nummern quadratzahlen sind, offen sind am ende... ich denke, das sieht man ein, wenn man drüber nachdenkt - aber als 6.klässler ist das schon ne gute leistung, wenn man das erkennt Smile


genau! aber das kommt öfter vor, dass die lehrer da mal druchdrehen! hatte ich neulich auch. sone total schwere knobelaufgabe für drittklässler, die die ganze geburtstagsgesellschaft meines onkels auf trab gehalten hat.
ich versteh das nicht! raffen die lehrer das nicht, dass das ein bisschen zu heftig ist? ich meine, dass sich die kinder mit mathe beschäftigen ist ja schön und gut allerdings nicht, dass sie niederlagen erleben müssen, was zwangsläufig passiert. dadurch werden sie demotiviert: sie sitzen ewigkeiten vor dieser "hausaufgabe" (oft freiwillig, aber lernbegeisterte und neugierige kinder wollen sie natürlich trotzdem lösen) und bekommen es trotzdem nicht gelöst! wenn kein erfolgserlebnis hinter der arbeit stehen kann, geht sowas doch nur nach hinten los.

das ärgert mich sehr. Mad
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 02:59:13    Titel:

Da müssen die Lehrer halt darüber nachdenken, wie sie es schaffen, daß die Schüler schonmal in die richtige Richtung denken oder sie müssen entsprechende Hinweise und Analogien liefern.
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 03:05:38    Titel:

naja, in meinen augen ist dia aufgabe zwar schwer und recht ungewöhnlich, aber für einen sechstklässler mit entsprechender einweisung durchaus schaffbar. hat aber nix bei den benoteten hausaufgaben zu suchen, dafür ist sie schon zu anspruchsvoll. also eher ein jux für nebenbei.
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