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Schnittpunkte von Geraden
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Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 10:11:02    Titel:

okay, hier meine Lösung:
zwei geraden sind parallel, wenn sie dieselben richtungsvektoren haben.
dies ist für a = 10/3 erfüllt.
damit schneiden sich sich, wenn a verschieden von 10/3 ist, gilt.
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 10:17:42    Titel:

okay, und noch zum guten schluss:
g und h sind hier gleich, wenn b = -5 ist, denn ein LGS hat unendlich viele Lösungen, wenn sich eine allgemein gültige Aussage gibt. Dies ist mit 0 = 0 hier der Fall.

Aber eine Sache noch zu dieser Aufgabe: finde ich vom aufgabensteller recht fies, denn er fragt erst, wann gilt g = h und nicht was gilt für g parallel h. man kann meiner meinung nach g = h nur lösen, wenn man die teilaufgabe davor hat, andernfalls nicht Smile
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 11:37:50    Titel:

hm, an einer Aufgabe bin ich noch hängengeblieben, die so ähnlich ist wie die letzte:
Gibt es ein t element IR, so daß die Geraden g und h parallel oder gar identisch sind?
g: x=(t/0/1) + r(-4/2t^2, -t^2) und h: x=(-1/t/2) + s(3/-6/3)

habe mir auch schoon etwas überlegt:
parallel: die richtungsvektoren müssen linear abhängig sein. ich würde diese hier einfach als brüche behandeln und dann nach t auflösen.
da hab ich t = -2 rausbekommen. ist das richtig?
und für identisch muss man das LGS aufstellen, aber da komme ich nicht weiter, weil es viel zu viele unbekannte und zu wenige gleichungen gibt Embarassed
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 13:48:44    Titel:

Silent hat folgendes geschrieben:
aber eins hattest du noch vergessen Wink
was muss erfüllt sein, damit g = h gilt, die geraden g und h also identisch sind und zusammenfallen?

Die Gleichheit hab ich irgendwie übersehen. Da gilt halt Parallelität und die Geraden teilen sich einen Punkt (naja, eigentlich alle Punkte, aber einer reicht). Oder: siehe Ende.

Silent hat folgendes geschrieben:
PS: was ist eigentlich der unterschied zwischen parallel und echt parallel?

Den Unterschied zwischen parallel und echt parallel müßte ich mutmaßen. ich denke, echt parallel heißt "nicht identisch".

Silent hat folgendes geschrieben:
okay, und noch zum guten schluss:
g und h sind hier gleich, wenn b = -5 ist, denn ein LGS hat unendlich viele Lösungen, wenn sich eine allgemein gültige Aussage gibt. Dies ist mit 0 = 0 hier der Fall.

Du kannst auch prüfen, welchen Punkt P die Gerade g für x_P=1 hat. Aber Deine Variante ist "mathematischer". Wink

Silent hat folgendes geschrieben:
Aber eine Sache noch zu dieser Aufgabe: finde ich vom aufgabensteller recht fies, denn er fragt erst, wann gilt g = h und nicht was gilt für g parallel h. man kann meiner meinung nach g = h nur lösen, wenn man die teilaufgabe davor hat, andernfalls nicht Smile

Eigentlich geht Gleichheit auch schneller. Wenn die Geraden identisch sind, dann teilen sie sich zwei verschiedene Punkte, zum Beispiel die Stützvektoren, insofern die verschieden sind.
Da aber beide Geraden in der Aufgabe variabel sind, muß man trotzdem erst einen Rechenaufwand betreiben, der der Parallelitätprüfung ebenbürtig ist.

Für die neue Sache hab ich grad keine Zeit. ich denk beim Duschen nochmal drüber nach.
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 14:36:06    Titel:

g: x=(t|0|1) + r(-4|2t²|-t²) und h: x=(-1|t|2) + s(3|-6|3)

Du solltest eigentlich t=-2 und t=2 rausbekommen. Da Du irgendwann eine Wurzel ziehst, entstehen beide Lösungen. Mit diesen Werten sind die Geraden parallel.
Wenn Du beides mal einsetzt und prüfst, ob der SV von g auf der Geraden h liegt, kriegst Du raus, daß er für t=-2 draufliegt und für t=2 nicht.
Also:
Für t=-2: g identisch h.
Für t=2: g "echt parallel" h


Zuletzt bearbeitet von Hiob am 04 Sep 2005 - 01:11:23, insgesamt 2-mal bearbeitet
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2005 - 18:43:55    Titel:

ich kann deine Erklärung schon nachvollziehen, aber auf die werte -2 und +2 komme ich irgendwie nicht.
du betrachtest doch für parallelität die beiden richtungsvektoren und siehst sie als brüche an oder nicht? und löst dann nach t auf.
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2005 - 01:12:15    Titel:

g: x=(t|0|1) + r(-4|2t²|-t²) und h: x=(-1|t|2) + s(3|-6|3)

Damit g und h parallel sind, muß gelten
(-4|2t²|-t²) = k*(3|-6|3)


mit k aus IR und k ungleich Null.

Das macht drei Gleichungen:
Code:

I:    -4 = k*3     =>  k = -4/3
II:  2t² = k*(-6)  =>  t² = 4  =>  t=2 oder t=-2
III: -t² = k*3     =>  Bestätigung


Wie meintest Du das mit dem als Brüche Ansehen?
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2005 - 17:05:30    Titel:

hallo,
tut mir leid, da hab ich wohl was verwechselt...auf t = 2, und t = -2 komme ich jetzt auch. Wink

ich habe noch eine Frage Razz
wenn ich nachweisen soll, dass zwei Geraden g und h windschief zueinander sein soll, so kann ich doch die aussage über die parallelität mittels lineare abhängigkeit machen und diese aussage zu einem widerspruch führen. ich habe folgende aufgabe, bei der ich hängengeblieben bin:
g: x = (-t/1/-2) + r(-1/4/2) und h: x = (2/6/4t) + s(1/-1/-2)
wenn ich die beiden richtungsvektoren auf lineare abhängigkeit untersuche, ergibt sich r = s = 0. stimmt das? wenn ja, wie soll ich weiterrechnen und fernen zeigen, dass sich g und h in S schneiden? einfach LGS aufstellen oder wie würdest du es machen?
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2005 - 21:59:56    Titel:

Das mit der Prallelität ist schonmal gut gedacht. Aber windschief heißt ja nicht parallel und keine gemeinsamen Punkte, wenn ich nicht irre.

ich bin mir nicht sicher, wie Du die lineare Abhängigkeit geprüft hast, aber das Ergebnis sieht gut aus. Wenn r oder s gleich Null ist, sind die RVs nicht linear abhängig und damit auch nicht parallel.

Daraus folgt ebenfalls, daß es keine Identität von g und h gibt.
Bleibt zu zeigen, daß sich die Geraden nicht schneiden. Und das kann man, wie Du meintest, durch ein LGS machen.
Am Ende kriegt man dann vermutlich für t einen Wert raus, für den die Geraden sich schneiden.
Silent
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Anmeldungsdatum: 27.08.2005
Beiträge: 202

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2005 - 14:28:17    Titel:

wenn sich g und h für einen Wert t schneiden, so kann ich doch hergehen und sagen: für t ungleich diesen wert sind g und h windschief, denn zwei geraden sind windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind ?

so, ich bin nun bei der allerletzten aufgabe angekommen Wink
diese aufgabe ist mit einem stern gekennzeichnet, denn sie soll angeblich mit viel rechenaufwand verbunden sein.

g: x = (5/3/7) + r(1/2/t) und h: x = (0/2t/-4) + s(1/-1/3)
Für welche t schneiden sie sich? für welche sind sie windschief?
ich hab mir auch mühe gegeben und möchte mir nicht alles vorrechnen lassen. deshalb schreib ich mal, was ich mir zu dieser aufgabe überlegt habe:
wenn g und h sich schneiden sollen, setzt man sie gleich und benennt die parameter um. es ergibt sich ein 3,3 LGS.
-> kann man die determinante mit der regel von sarrus hier berechnen (denn zwei unbekannte sind hier ein produkt, zB rt) ? würdest du das 3,3 LGS mit dem Gauß-Verfahren lösen oder einfach geschickt substituieren, sodass am ende eine gleichung mit nur einer unbekannten steht?
ich habe für t den wert 4 bekommen, aber ich denke, dass der nicht stimmt. ich denke, dass sich die geraden g und h nicht nur in einem Punkt schneiden. es gibt zwei schnittpunkte.
hast du verbesserungsvorschläge? Smile
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