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Erkennen einer Funktion und deren Asymptoten
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silkesommer
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Anmeldungsdatum: 13.09.2005
Beiträge: 171

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2005 - 15:29:24    Titel: Erkennen einer Funktion und deren Asymptoten

hallo zusammen, ich habe ein grundsätzliches problem, vielleicht kann mir jemand helfen.

ich habe grosse probleme beim erkennen von asymptoten. zB x^2 ist mir als parabel bekannt und ich weiss auch wie die skizze aussieht aber das wars dann auch schon.

woher weiss ich zB die asymptoten von (1+x)/(x^2)

danke im voraus
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2005 - 15:39:30    Titel:

Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:
1. senkrechte Asymptoten:
Treten immer an sogenannten Definitionslücken auf.
Es gibt sie mit Vorzeichenwechsel und ohne...

Man findet sie, indem man bei einer Funktion den Nenner gleich Null setzt.

2. waagrechte Asymptoten:
Diese können vorkommen, wenn der Zählergrad = Nennergrad, damit eine Konstante parallel zur x-Achse.

Oder wenn man die Funktion auf das Verhalten für x gegen unendlich und - unendlich untersucht.

3. schiefe Asymptoten:
Diese treten dann auf wenn der Zählergrad größer ist als der Nennergrad ist und werden mit der sogenannten Polynomdivision berechnet...
silkesommer
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Anmeldungsdatum: 13.09.2005
Beiträge: 171

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2005 - 15:47:21    Titel:

hallo wild_soft, kannst du mir zu deinen 3 punkten beispiele nennen? ich blick da noch nicht ganz so durch. danke
Jank!e
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Anmeldungsdatum: 14.09.2005
Beiträge: 422
Wohnort: Koblenz

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2005 - 16:15:04    Titel:

@ Wild_And_Cool:

Wenn du eine Definitionslücke hast, ist an deser Stele nicht unbedingt eine Asymptote, sondern es kann eine stetige Fortsetzung da sein. Nun, wenn du aber eine Polstele hast, dann hast du eine Asymptote
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2005 - 16:16:08    Titel:

1. senkrechte Asymptoten:

1/ (x-1):
Wenn man hier x = 1 einsetzt,
dann steht da 1/0 und durch Null ist mathematisch nicht erlaubt,
d.h. man hat eine Definitionslücke...

Wenn man jetzt schauen will was die Funktion an der Stelle x = 1 macht,
muss man eine Grenzwertbetrachtung für x->1 machen und erkennt,
dass die Funktion gegen +-unendlich geht, wenn man sich x = 1 nähert...

Damit ist x=1 eine senkrechte Asymptote...

2. waagrechte Asymptoten:

1/ (x-1):
Man setzt jetzt wieder die Grenzwertbetrachtung ein
und zwar diesmal x->unendlich und x->-unendlich und man erkennt,
y = 0, also die x-Achse ist eine waagrechte Asymptote...

Hat man jetzt eine Funktion der Bauweise x²/ (x-1)²,
also Zählergrad = Nennergrad kann man die Asyptote berechnen durch Polynomdivision:
x² : (x²-2x+1) = 1
-(x²-2x+1)
0

Also bekommt man eine waagrechte Asymptote --> y = 1

3. schiefe Asymptoten:

x³/ (x-1)²
Machen wir wieder eine Polynomdivision:
x³ : (x²-2x+1) = x + 2 + (3x-2)/(x²-2x+1)
-(x³-2x²+x)
2x²-x
-(2x²-4x+2)
3x-2

Damit bekommt man eine schiefe Asymptote y = x+2
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2005 - 16:17:53    Titel:

@ Jank!e:

Hast ja Recht...
Eine hebbare Definitionslücke weist nicht auf eine Asymptote hin...
silkesommer
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Anmeldungsdatum: 13.09.2005
Beiträge: 171

BeitragVerfasst am: 24 Okt 2005 - 16:28:08    Titel:

@wild_and_cool

super für die ausführliche antwort. danke dir. Razz
fragile
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Anmeldungsdatum: 12.11.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 17 Nov 2005 - 20:52:45    Titel: Super

wild_and_cool hat folgendes geschrieben:
Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:
1. senkrechte Asymptoten:
Treten immer an sogenannten Definitionslücken auf.
Es gibt sie mit Vorzeichenwechsel und ohne...

Man findet sie, indem man bei einer Funktion den Nenner gleich Null setzt.

2. waagrechte Asymptoten:
Diese können vorkommen, wenn der Zählergrad = Nennergrad, damit eine Konstante parallel zur x-Achse.

Oder wenn man die Funktion auf das Verhalten für x gegen unendlich und - unendlich untersucht.

3. schiefe Asymptoten:
Diese treten dann auf wenn der Zählergrad größer ist als der Nennergrad ist und werden mit der sogenannten Polynomdivision berechnet...


Super Erklärunf muss ich sagen.Hat mir auch für meine mündliche Matheprüfung super geholfen!! Very Happy
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