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Limes von Folgen - Definitionsfrage
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meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 20:21:21    Titel: Limes von Folgen - Definitionsfrage

Hallo

die Definition von Grenzwerten für Folgen lautet ja so:


Aus der Vorlesung habe ich es aber mit
..."Für alle" n "größer gleich N...
notiert.
In dem Fall müsste es doch aber auch
...|a(n) - a| "kleiner gleich" Epsilon
heißen, oder?

Das N steht doch für irgendein n (z.B. n=3) - richtig?
So verstehe ich es, nur dann verstehe ich nicht, wie man |a(n) -a| mit Epsilon vergleichen kann. Würde für mich nur Sinn ergeben, wenn man |a(n) -a| mit N vergleicht.

Ich verstehe dieses Epsilon nicht so ganz... kann mir einer das mal bitte genauer erklären?


Zuletzt bearbeitet von meiner einer am 04 Nov 2005 - 20:27:20, insgesamt einmal bearbeitet
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 20:27:00    Titel:

Hallo,

ob es größer gleich n oder nur größer N ist, ist egal.

Das "kleiner epsilon" ist schon richtig so.

Anschaulich kannst Du es Dir so vorstellen:

Nimm ein beliebig kleines epsilon her. Dann wirst Du irgendwann einen Folgenindex finden, ab dem ALLE weiteren Folgenglieder in einer Epsilonumgebung deines Grenzwertes liegen.
Diesen Index nennst Du N.
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 20:48:24    Titel:

wie geht das mit dem epsilon?
also ich wähle ein epsilon und wie finde ich dann einen folgenindex?
soll das epsilon selber eine Folge sein?
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 22:14:39    Titel:

Ach, jetzt hab ichs (glaub ich):

a(N) = Epsilon

richtig?


Und noch zur Definition:
heißt der ":" "hierfür gilt"?
Also steht da:
"Für alle n größer N gilt |a(n) - a| ist kleiner als Epsilon"?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 22:27:24    Titel:

Das mit "epsilon" ist auch egal. Das ist in deinem Fall egal, denn wenn die Folge konvergiert, so gilt die rechte Seite sicher, denn die Aussage ist stärker. Umgekehrt, wenn die Aussage mit "<=" gilt, so liegen außerhalb jeder Umgebung nur endlich viele Punkte der Folge, denn man kann in jede Umgebung eine offene Kugel mit einem Radius epsilon reinlegen, in die man wiederrum eine abgeschlossene Kugel reinlegen kann etwa mit halbem Radius. Und für die liegen nach der Aussage rechts endlich viele Folgenglieder außerhalb. Also konvergiert die Folge.
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 22:48:46    Titel:

Wow, langsam.
In meinem Fall? Was oben im Startpost steht ist die allgemeine Definition für Grenzwerte von Folgen.

Und da ich das Thema kaum verstehe, würde ich erstmal gerne wissen, ob folgendes (nach der Def.) stimmt:

sei a(n) = 1/n und Epsilon sei 1/2, dann ist N = 2


Und das will ich auch noch beantwortet haben:
meiner einer hat folgendes geschrieben:
Und noch zur Definition:
heißt der ":" "hierfür gilt"?
Also steht da:
"Für alle n größer N gilt |a(n) - a| ist kleiner als Epsilon"?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 22:57:41    Titel:

Zitat:
sei a(n) = 1/n und Epsilon sei 1/2, dann ist N = 2


Das ist korrekt so. Also so schlimm ist es nicht mit deinem Verständnis Smile Was ":" anbetrifft, so zitiere ich mal einen meiner Vorbilds-Betreuer: "Wer in quantifizierten Aussagen ein ":" schreibt, der versteht gar nichts von Quantoren". Das ":" soll den "Bindungsbereich" des Quantors von der quantifizierten Aussage trennen. So heißt z.B.

für alle x > n : 2*x > 2 n

eigentlich

für alle x gilt aus x > n folgt 2*x > 2n.

Du kannst aber ruhig von "gilt" ausgehen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 23:06:31    Titel:

Wenn Du den Begriff "Konvergenz" besser verstehen willst, so empfehle ich Dir die "topologische" Definition, welche viel anschaulicher ist:

Eine Folge a_n konvergiert gegen einen Wert a, falls außerhalb jeder Umgebung von a nur endlich viele Folgenglieder liegen.

Den Begriff "Umgebung" kann man intuitiv ansehen, also eine Menge, die a umgibt d.h. "links und rechts" sind noch mehr Zahlen (Formal: es passt eine offene Kugel = lntervall in lR um a mit einem kleinen Radius rein).
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 23:30:19    Titel:

Ah ja, diese Def. hab ich verstanden Cool

Aber nochmal zurück zur Def. im Startpost (habs dann hoffentlich bald Laughing ):

"Für alle" n > N "gilt" |a(n) - a| < Epsilon

Gedanklich ziehe ich a(n) von a ab. Bei a(n) natürlich nur für alle n > N.
D.h. von N+1 bis unendlich.

Somit habe ich für |a(n) - a|:
a(n) für n = 1 bis (N+1)

Und für Epsilon hab ich doch sozusagen:
a(n) für n = 1 bis N

Und somit komm ich letztendlich auf:
|a(n) - a| > Epsilon // WIEDERSPRUCH
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 23:35:21    Titel:

Ich verstehe kein Wort. Kannst Du in Worten vollständig ausschereiben, was Du meinst. Mein Tipp, übrigens: Versuche das nicht zu "verstehen". Du sollst wissen, was die Definition aussagt und mehr eigentlich nicht. Vermutlich hast Du Defizite auf einem anderen Niveau, nämlich, so wie ich vermute, bei Aussagenlogik.
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