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Rationale Zahlen
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BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 17:27:54    Titel:

geht mir auch so, kanns aber nícht erklären. mir fällt kein fehler auf. aber der schluss auf die einpunktigen mengen ist schon ne krasse einschränkung.
algebrafreak
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 17:35:58    Titel:

lR \ lQ enthält keine rationalen Zahlen. Sobald ein nicht einpünktiges Intervall [a,b] in lR \ lQ liegt, liegt in diesem Intervall eine rationale Zahl. Das ist auf jeden Fall wahr. Und offene Mengen in lR sind genau abzählbare Vereinigungen von offenen Intervallen (der Beweis ist einfach). Und bei Dir hat man ja sogar offene Intervalle als Voraussetzung.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 17:39:47    Titel:

hmm intervalle in R ohne Q müssen aber nicht einpunktig sein. es sind intervalle mit nur irrationalen punkten, müsste eigentlich hinhauen, da r und q dicht liegen. du veränderst auch nicht am maß da du nur ne lebesgue nullmenge raus nimmst. das wäre mein einziger kritikpunkt wo ich vielleicht die möglichkeit eines fehlers sehen würde. den von dir gennanten rest hab ich alles selbst schon bewiesen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 17:51:20    Titel:

Zitat:
intervalle in R ohne Q müssen aber nicht einpunktig sein


Ich spezifiziere mal "Intervall" genauer.

Eine Menge M = { x in lR | a < x < b} für a < b enthält mindestens eine rationale Zahl.

Beweis: Betrachte rationale Folgen a_n -> a und b_n -> b. Dazu betrachte die Folge (a_n + b_n)/2 -> (a+b)/2 in M. Wähle epsilon = (b-a)/3. Dann liegen schließlich alle Glieder von (a_n + b_n)/2 in

M' = { x | (a+b)/2-epsilon < x < (a+b)/2+epsilon },

und somit komplett in M. Wähle irgend eins davon. qed
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 18:00:12    Titel:

Zitat:
Eine Menge M = { x in lR | a < x < b} für a < b enthält mindestens eine rationale Zahl.


Aber dein Intervall kommt nicht aus R sondern aus R\Q, und wenn die endpunkte in R liegen, dann liegen doch keine rationalen Zahlen mehr in dieser Menge, da die dann:

Eine Menge M = { x in lR\Q | a < x < b} für a < b enthält keine rationalen Zhalen mehr, muss doch aber nicht einpunktig sein. müsste gehen, da R\Q immer noch dicht liegt.

Oder sehe ich da was falsch?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 18:12:35    Titel:

Das ist schon richtig. Aber ich benutze gerade diese Eigenschaft von Intervallen im Beweis oben, dass eben das Intervall einpünktig ist. Wenn also lR \ lQ in Vereinigung mindestens ein solches Intervall (und ein solches im Beweis oben ist immer mit lR als Grundmenge) enthält, dann muss das Intervall einpünktig sein.
BBFan18
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 18:15:40    Titel:

Zitat:
Dann wäre das Komplement lR \ lQ eine Vereinigung von Komplementen der Intervalle S_i, welche allersamt abgeschlossen und Intevalle (es gehören höchstens zwei Teile zu je einem offenen Intervall). Somit ist die Vereinigung eine abzählbare Vereinigung von Intervallen. Diese Intervalle können nur einpünktig sein, denn für ein Intervall [a,b] mit a < b gibt es ein q in lQ zwischen a und b



Das blaue, mein ich klappt nicht, da die intervalle ja aus R\Q kommen sollen schreibst du. oder wo liegt mein fehler?
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 18:16:55    Titel:

sorry irgendwas bei der schriftgröße ging schief.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 18:21:21    Titel:

Ärgere ich Dich? Wenn Du schon so groß schreibst... Sorry, war nicht die Absicht.

Meine Idee ist ja die Folgende

Q ist Schnitt von offenen Intervallen S_i = ]a,b[ =>
Komplementieren =>
lR \ lQ ist die Vereinigung von Komplementen von S_i = ]-unendlich,a] U [b,unendlich[ =>
Sollte nur in einem davon eine rationale Zahl liegen, so liegt sie auch in lR \ lQ =>
aber es liegten tatsächlich rationale Zahlen (nach obigem Beweis) =>
Kann nicht sein.

D.h. Wir betrachten immer Intervallen in lR. Nur darstellen wollen wir damit lR \ lQ.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 18:27:20    Titel:

Zitat:
Q ist Schnitt von offenen Intervallen S_i = ]a,b[ =>
Komplementieren =>
lR \ lQ ist die Vereinigung von Komplementen von S_i = ]-unendlich,a] U [b,unendlich[ =>
Sollte nur in einem davon eine rationale Zahl liegen, so liegt sie auch in lR \ lQ =>
aber es liegten tatsächlich rationale Zahlen (nach obigem Beweis) =>
Kann nicht sein.



Das meine ich. In diesen Intervallen liegen keine rationalen Zahlen, da die INtervalle aus R\Q kommen, und da ja schon definitionsgemaß keine rationalen Zahlen in Intervallen liegen.
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