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Extremwertbestimmung (eigentlich einfach ;) )
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Celest
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Anmeldungsdatum: 04.11.2005
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 16:55:35    Titel: Extremwertbestimmung (eigentlich einfach ;) )

Also, hier ist eine Extremwertaufgabe, die ich bis morgen lösen muss und irgendwie nicht voran komme! Ihr könnt mir sicher helfen!

Aufgabe:

Also, man stelle sich einen ausschnitt eines kanals vor. unten ein viereck bzw. rechteck und obendrauf liegt ein halbkreis, also ein typischer kanal, nicht 3D.
Gegeben ist der Umfang=U=5. Nun soll das maximale Volumen dieses Kanals berechnet werden.

der leherer hat gesagt, das wir erst die Randbedingung, dann die Zielfunktion erstellen sollen. Dann einen Faktor eliminieren und in die zielfunktion einsetzten.

Die Randfunktion ist: U=2*a+b+(2*(b/2)*PI)=5
Die Zielfunktion ist: A= a*b+(1/2)*((b/2)^2*PI)
(Alles meiner Meinung nach. Kann aber auch falsch sein!!!)

Also, wer kann mir den Extremwert geben und erklären, wie er dahingekommen ist???
Schon mal Danke für eure Mühen! Smile Smile Smile
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 17:08:27    Titel:

Wo ist das Problem? Warum machst Du nicht das, was Dein Lehrer gesagt hat?

Die Randfunktion ist: U=2*a+b+(2*(b/2)*PI)=5
Die Zielfunktion ist: A= a*b+(1/2)*((b/2)^2*PI)

Zuerst die Randfunktion nach a umstellen: a = 5/2 - 1/2*b - (b/2 * PI)
Dann dieses a in die Zielfunktion einsetzen, vereinfachen und Du hast eine quadratische Funktion.
Extremwert durch 1.Ableitung = 0 errechnen und mit 2. Ableitung überprüfen.
Celest
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Anmeldungsdatum: 04.11.2005
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 17:36:28    Titel:

mein Problem ist ja dass vereinfachen! Hab ich schon versucht, hat aber auch nach einer halben stunde nur zu quatsch geführt. Uns das ableiten war noch schlimmer! deswegen hatte ich ja hier um hilfe gebeten!

Also, nochmal die Bitte, helft mir!
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 17:51:43    Titel:

Zunächst a*b:
[5/2 - 1/2*b - (b/2 * PI)] * b = 5/2 * b - 1/2 * b² - PI/2 * b² = [(-1-PI)/2]*b² + 5/2 * b

Dann a*b+(1/2)*((b/2)^2*PI):
A(b) = [(-1 - PI)/2]*b² + 5/2 * b + (1/2)*[(b/2)²*PI] = [(-1 - PI)/2]*b² + 5/2 * b + PI/8 * b² = [PI/8 + (-1 - PI)/2]*b² + 5/2 * b = [-3PI/8 - 1/2]*b² + 5/2 * b

Nun zu ersten Ableitung A'(b):
A'(b) = 2*[-3PI/8 - 1/2]*b + 5/2 = [-3PI/4 - 1]*b + 5/2 = [(-3PI - 4)/4] * b + 5/2

Nun A'(b) = 0:
[(-3PI - 4)/4] * b + 5/2 = 0 <=> b = -[5/2] / [(-3PI - 4) / 4] = - 20 / (-6PI - 8 ) = 20 / (6PI + 8 )

Nun A''(b):
A''(b) =[(-3PI - 4)/4] < 0 für alle b=> b = 20 / (6PI + 8 ) ist ein Maximum!
(Hoffe ich habe mich nicht verrechnet!)
Celest
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Anmeldungsdatum: 04.11.2005
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 18:37:09    Titel:

Vielen Dank!!! Arbeite das noch mal durch zum verstehen, sieht aber gut aus! Danke, danke!
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