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stetig fortsetzbar and stuff
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derCauchy
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Anmeldungsdatum: 11.12.2005
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 12:36:23    Titel: stetig fortsetzbar and stuff

ist es jemandem möglich mir in klaren worten zu erläutern, was stetig fortsetzbar bedeutet??

des weitern habe ich folgende aufgaben zu lösen:
1.
sei f funktion von R\{-2} -> R, wobei x abgebildet wird auf
(x^3 - 4x)/(x + 2). Ist f auf R stetig fortsetzbar??

also das ich (x^3 - 4x)/(x + 2) auch so schreiben kann
((x^2 + 2x)(x+2))/(x+2) = (x^2 + 2x), was aber habe ich damit gewonnen???

2.
sei f funktion von ]0,1] -> R, wobei x abgebildet wird auf
1/((x)^1/2). Ist f in 0 stetig fortsetzbar??

danke EUCH Very Happy
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 12:40:40    Titel:

Stetig fortsetzbar bedeutet, das die Funktion keinen Sprung macht...

Man kann das mit dem Grenzwert von rechts und links an die Definitionslücke zeigen, das es eine eindeutigen Funktionswert gibt...
derCauchy
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Anmeldungsdatum: 11.12.2005
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 12:44:56    Titel:

würde es bei 1. reichen zu sagen, das x² + 2x stetig ist und deswegen auch (x³ - 4x)/(x + 2) stetig fortsetzbar ist??
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 16:41:38    Titel:

Weiss jetzt net was Du damit meinst...

Du nimmst einfach die Nennernulstelle, da ist die Funktion nicht definiert...

Jetzt schaust Du ob die Nennernulstelle ebenfalls eine Zählernullstelle ist...

Wenn ja kann man die Funktion an deser Stelle stetig ergänzen, indem man den Funktionswert an dieser Stelle über eine Grenzwertbetrachtung berechnet...
Beispiel:

f(x) = (x³ - 4x)/(x + 2) ist an der Stelle x = -2 nicht definiert...

x³ - 4x = 0 --> x(x² - 4) = 0 --> x1 = 0
x² - 4 = 0 --> x² = 4 --> x2/3 = +-2

Also hat auch der Zähler diese Nullstelle...

Jetzt betrachten wir den Grenzwert an dieser Stelle:

lim[x->-2]((x³ - 4x)/(x + 2))= 8

Also kann man die Funktion stetig ergänzen zu:

f(x) = (x³ - 4x)/(x + 2) für x ungleich -2 und f(x) = 8 für x = -2
derCauchy
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Anmeldungsdatum: 11.12.2005
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2005 - 18:20:06    Titel:

vielen dank!! Smile
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