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Formelherleitung für die Mantelfläche eines Rotationskörpers
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Lill
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 18:54:58    Titel: Formelherleitung für die Mantelfläche eines Rotationskörpers

Hallo!

Weiß zufällig jemand wie man die Formel für die Mantelfläche eines (beliebigen) Rotationskörper, der um die x-Achse rotiert, herleitet???
(Die Herleitung müsste vermutlich über die Bogenlänge und funktionieren ... ?)

Oder wo ich eine solche Herleitung finde?

Vielen Dank.
Lill
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 19:19:30    Titel:

oh ich glaub für beliebige körper ist das gar nicht so einfach. hast du kenntnisse in maß- und integrationstheorie?
Lill
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 19:26:15    Titel:

Ich weiß wie man Integriert und die Formel für das Volumen eines beliebigen Rotationskörpers herleitet.
Die Formel für die Mantelfläche kenne ich auch, aber ich weiß nicht wie man sie herleitet!???
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 19:29:52    Titel:

der naive ansatz ist, dass man die bogenlangenfunktion integriert. problem wird nur, du zeigst dabei nicht, wann die integrale existieren.
z.b. gibt es auch körper mit endlichem volumen aber unendlicher mantelfläche!
Lill
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 20:05:05    Titel:

Und wie leite ich die Formel für bestimmte Integrale (von a bis b) also:

Mantelfläche= 2"pie" * Betrag von ("Integral von a bis b" von ("Betrag von f(x)" * Wurzel(1+ (f´(x))^2 ))dx)

her?????
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 21:19:53    Titel:

Hi,

sei f(x) eine stetige Funktion, die im Intervall [a,b] immer über der x-Achse liegt:
dann ist bei Rotation um die x-Achse:
Lill
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 21:37:44    Titel:

Hey Danke Aldebaran!!!

2 Fragen hab ich aber noch:

1. dA ist die Ableitung der Flächenfunktion? Wie kommst du auf die Formel dA = 2r"pie" ds ???

2. ds ist die Ableitung der Funktion die die Länge des Graphen zwischen a
und b beschreibt? Wie kommst du auf die Formel ds = "Wurzel aus" (dx^2 + dy^2)???
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 21:45:49    Titel:

Hi,
2*Pi*r = Umfang
ds = Länge eines (sehr kleinen) Längenstücks der Konturlinie von f(x)

ds = sqrt[(dx)² + (dy)²] = Pythagoras, das die Konturlinie als f(x) schräg zur x-Achse liegt !
Lill
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 21:57:18    Titel:

Hey vielen, vielen Dank Aldebaran!!!
Ich glaube ich habs so ungefähr verstanden. Laughing Laughing Laughing

Danke

Lill
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2005 - 23:16:10    Titel:

nicht vergessen, dass f messbar sein muss, damit das integral exisitiert!
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