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Ableitung einer Funktion an einer Stelle
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-oliver-
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Anmeldungsdatum: 30.12.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 14:07:18    Titel: neue Ableitungsaufgabe

Hi zusammen!

Ich habe wieder mal eine Ableitungsaufgabe die mir große
Schwierigkeiten bereitet.
Aufgabenstellung: Berechnen Sie den Wert der Ableitung f´(x) an der Stelle x=1

Aufgabe: f(x)=2^x²+3

Musterlösung:

f(x)=2^x²+3 = e^ln2*(x²+3)

Bis hier hin verstehe ich die Aufgabe, aber jetzt:

f´(x)=[e^ln2*(x²+3)] * ln2 * 2x

f´(1)= 16 * 1,3863 = 22,18


Muss man wieder die Kettenregel einsetzten? Ich blick nicht durch!
Wäre sehr dankbar für Euere Hilfe!

Ciao
Olli
Jockelx
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 14:22:51    Titel:

Hi,

ja sicher, Kettenregel mit (f(g))' = f'(g) g'; f = e, g = ln2*(x²+3).

Jockel
pansen
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Anmeldungsdatum: 01.11.2005
Beiträge: 103

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 14:24:07    Titel:

japp, Kettenregel:

1.) e hoch "irgendwas" wird zu e hoch "irgendwas" * abgeleitet "irgendwas"
2.) das was oben steht muß abgeleitet werden d.h.: ln2*(x²+3) ableiten ->Kettenregel u'v + uv'

ln2 abgeleitet ist NULL -> der Teil fällt weg

x^2 + 3 abgeleitet ist: 2x



sorry ich bin nicht gut im erklären Smile
-oliver-
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Anmeldungsdatum: 30.12.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 14:52:20    Titel:

Danke für die schnellen Antworten!

Aber warum ist ln2 abgeleitet gleich Null?

Allgemein heißt es doch: lnx is abgeleitet 1/x

Dann müsste ln2 abgeleitet doch 1/2 sein oder?
Averell
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Anmeldungsdatum: 31.07.2005
Beiträge: 77

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 14:58:49    Titel:

Der Logarithmus einer konkreten Zahl ist ja wiederum eine konkrete Zahl, also ein konstanter Wert (unabhängig von der Variablen x).

Daher ergibt die Ableitung von ln(2) auch 0.

Averell
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 14:59:53    Titel:

pansen hat etwas verwirrend die Produktregel als Kettenregel bezeichnet.
Also erst Kettenregel und das g mit Produktregel.
ln2 ist eine Konstante und daher 0, nicht 1/2.
(Nicht verwechseln mit ln(x) an der Stelle 2, sondern eben die Konstante
ln 2).

Jockel
-oliver-
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Anmeldungsdatum: 30.12.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 15:06:02    Titel:

ahh, ok, vielen Dank!
-oliver-
Newbie
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Anmeldungsdatum: 30.12.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 15:33:07    Titel:

Ok, also mit der Produktregel blicke ich durch!

Aber bei der Kettenregel???

Bei meinem Beispiel wäre doch e die äußere Funktion und
ln2 * (x²+3) die innere Funktion (die innere Funktion benenne ich jetzt
mal u)!

u=ln2 *(x²+3)
f(u) = e^ln2+(x²+3) soweit richtig???


u`= 2x
f`(u)= ? Keine Ahnung, versteh ich immer noch nicht ganz!

Ach ja, und wegen ln2 ist abgeleitet = 0, trifft das bei allen
positiven Zahlen, also z.B. ln5, oder ln6 usw. zu!

Schon mal vielen Dank im voraus,
Olli
-oliver-
Newbie
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Newbie


Anmeldungsdatum: 30.12.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2006 - 18:20:10    Titel:

Kann mir keiner weiterhelfen? Sad Very Happy
wild_and_cool
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 03 Jan 2006 - 10:35:46    Titel:

-oliver- hat folgendes geschrieben:
Ok, also mit der Produktregel blicke ich durch!

Aber bei der Kettenregel???

Bei meinem Beispiel wäre doch e die äußere Funktion und
ln2 * (x²+3) die innere Funktion (die innere Funktion benenne ich jetzt
mal u)!

u=ln2 *(x²+3)
f(u) = e^ln2+(x²+3) soweit richtig???

Nee das kann so nicht sein...
f(u) = e^u
f'(u) = u' * e^u

u`= 2x

Und das ist ebenfalls falsch !!!
u = ln2 *(x²+3) --> u = ln(2) * x² + ln(2) * 3
u' = 2*ln(2)*x


f`(u)= ? Keine Ahnung, versteh ich immer noch nicht ganz!

Jetzt kannst Du alles wieder einsetzen...
f'(u) = u' * e^u
f'(x) = 2*ln(2)*x * e^(ln2+(x²+3))


Ach ja, und wegen ln2 ist abgeleitet = 0, trifft das bei allen
positiven Zahlen, also z.B. ln5, oder ln6 usw. zu!

Das liegt daran das eine Konstante abgeleitet immer = 0 ist...
Also f(x) = 2 --> f'(x) = 0
Ebenso f(x) = ln(86) --> f'(x) = 0

Aber eine Konstante in Verbindung mit x bleibt beim Ableiten erhalten...
f(x) = 2x --> f'(x) = 2
f(x) = 2x² --> f'(x) = 2 * 2x
f(x) = ln(86) * x² --> f'(x) = ln(86) * 2x


Schon mal vielen Dank im voraus,
Olli
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