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Polynom gesucht! Ehrliche Finder bitte bei mir melden. ;-)
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toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2006 - 20:26:19    Titel: Polynom gesucht! Ehrliche Finder bitte bei mir melden. ;-)

Ja, noch bin ich gut drauf und versuche mein Unwissen in Mathe mit Humor zu nehmen. Leider muß man Mathe verstehen, um Aufgaben bewätigen zu können. Dieses Forum ist echt klasse und ich habe den Klick in meinem Kopf schon öfters hören dürfen.

Ich hoffe, ihr könnt mir wieder zu einem Klick verhelfen.

Es geht um die Bestimmung eines Polynoms oder dessen Koeffizienten!

Beispiel Aufgabe 1:
Ein Polynom 3. Grades hat bei x=3 die Gerade y=11x-27 als Tangente und einen Wendepunkt bei (1;0). Wie lautet das Polynom und die Koeffizienten?

Mir ist klar, dass ich erstmal die Normalform eines Polynoms 3. Grades aufschreibe und die Ableitungen bilde.

y=f(x)=ax³+bx²+cx+d

y'=3ax²+2bx+c
y''=6ax+2ab

Doch wie geht es nun weiter? Ich weiß nicht, wie ich die gegebenen Informationen auswerten soll! Kann mir bitte jemand helfen und mir erklären, wie man an solche Aufgaben heran geht!

Dank an euch!

Sabine
haiabuia
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Anmeldungsdatum: 05.02.2006
Beiträge: 64

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2006 - 20:37:41    Titel:

hallo.

du hasst verschiedene infos gegeben. zum einen gibt es einen wendepunkt bei (1,0). damit weisst du schon zwei dinge:
1. f ( 1 ) = 0
2. f'' ( 1 ) = 0 ( bedingung für wendepunkte )
3. eine tangente gibt immer die steigung in dem punkt an, an dem sie anliegt. das heißt dass der punkt mit x-koordinate 3 hat die steigung 11. ( allgemeine tangentenform : y=mx+c wobei m die steigung ist. )
daraus folgt also dass
f' ( 3 ) = 11 ( da die 1. ableitung die steigung in einem punkt angibt )
und zu guter letzt kannste noch die 3 in die tangenten formel einsetzen und bekommst dadurch die y-koordinate raus. ( da tangente und funktion hier einen gemeinsamen punkt haben ) daraus folgt also :
f ( 3 ) = -6


jez kannste diese informationen in deine funktion und ihre ableitung einsetzen und damit dann a,b,c und d berechnen.

anmerkung die zweite ableitung lautet :
f '' ( x ) = 6ax + 2b



mfg
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2006 - 20:50:00    Titel:

Hallo haiabuia und danke für Deine Antort.
Zitat:

du hasst verschiedene infos gegeben. zum einen gibt es einen wendepunkt bei (1,0). damit weisst du schon zwei dinge:
1. f ( 1 ) = 0
2. f'' ( 1 ) = 0 ( bedingung für wendepunkte )


f'' (1) = 0 ist mir klar als Bedingung für Wendepunkte. Aber warum muß man auch noch f(x) bzw. f(1) gleich Null setzen?

Dass mit Hilfe der Tangenten- bzw. Geradengleichung die Steigung angegeben wird, ist mir jetzt auch verständlich. Danke!

Berechnet man mit der 1. Ableitung IMMER die Steigung an einem Punkt?

Das Licht ist zwar noch nicht an, aber es dämmert schon ein wenig! Rolling Eyes

Gruß
Sabine
haiabuia
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Anmeldungsdatum: 05.02.2006
Beiträge: 64

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2006 - 20:54:57    Titel:

die angabe ist ja :
Beim Punkt ( 1 / 0 ) gibt es eine wendestelle. dieser punkt liegt auf dem schaubild. das heisst einmal f ( 1 ) = 0 - genauso wie du zB den punkt ( 12 / -6 ) als f ( 12 ) = -6 schreiben kannst. ist das klar ??

und die 1. ableitung gibt immer die steigung der ursprungsfunktion in dem jeweiligen punkt an. sprich die 1. ableitung f ' ordnet jedem beliebigen X die steigung zu, die die funktion f an diesem x hat.

wenn du noch fragen hasst. schreib einfach.
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2006 - 20:58:03    Titel:

Ok, schon klarer!
Ich melde mich bestimmt noch! Laughing

Vielen Dank!
toxictype
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Anmeldungsdatum: 26.07.2005
Beiträge: 115

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2006 - 00:58:23    Titel:

Hello again!
Ich denke, ich bin schon ein paar Schritte weiter, was das Bestimmen von Polynomem angeht!

Ich habe folgende Aufgabe:
Ein Polynom vierten Grades sei eine gerade Funktion. Es habe ein Maximum bei (0;3) und ein Minima bei (+/- sqr(2); -1).

Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms!

Ich habe bis jetzt folgende Lösungen:
c = 3
b = -2a - 2

Nur wie bekomme ich a heraus???

Ich habe eine Lösung, die besagt, dass a = 1 ist!

Nur wie kommen die darauf???

Könnt ihr mir bitte noch mal helfen?
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