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eulersche zahl e
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> eulersche zahl e
 
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steffi188
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Anmeldungsdatum: 11.02.2006
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2006 - 19:30:36    Titel: eulersche zahl e

ich soll beweisen, dass für alle natürlichen zahlen n gilt: summenzeichen von k=0 bis n 1/k! <= e <= summenzeichen 1/k! + 2/n! hab leider keine ahnung....wie ich das beweise

und dann soll ich mit hilfe dieser formel beweisen, dass e eine irrationale zahl ist......
kann ich bei dem beweis damit anfangen, dass e rational ist und dann einen widerspruch erhalte?
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2006 - 20:49:14    Titel:

induktions Beweis für den ersten teil, sollte hier unter Induktion zu finden sein.
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2006 - 21:33:14    Titel:

Hallo !

Gegeben: e = Summe(k=0 bis unendlich)(1/k!)

Linke Seite der Ungleichung:
Da Summe(k=n+1 bis unendlich)(1/k!) > 0 ist,
gilt Summe(k=0 bis n)(1/k!) = e - Summe(k=n+1 bis unendlich)(1/k!) < e

Rechte Seite der Ungleichung:
Es ist Summe(k=n+1 bis unendlich)(1/k!) = (1/(n+1)!)Summe(k=n+1 bis unendlich)((n+1)!/k!) =
= (1/(n+1)!)Summe(k=0 bis unendlich)((n+1)!/(n+1+k)!) < (1/(n+1)!)Summe(k=0 bis unendlich)(1/(n+2)^k) =
= (1/(n+1)!)(1/(1-1/(n+2))) = (1/(n+1)!)((n+2)/(n+1)) < (1/(n+1)!)*2 = 2/(n+1)!
wegen (n+1)!/(n+1+k)! <= 1/(n+2)^k und allgemein Summe(k=0 bis unendlich)(1/a^k) = 1/(1-1/a) für a > 1 .
Also haben wir e = Summe(k=0 bis n)(1/k!) + Summe(k=n+1 bis unendlich)(1/k!) < Summe(k=0 bis n)(1/k!) + 2/(n+1)!

Zusammenfassung:
Summe(k=0 bis n)(1/k!) < e < Summe(k=0 bis n)(1/k!) + 2/(n+1)!

Nun multiplizieren wir mit n!
=> g := n!*Summe(k=0 bis n)(1/k!) ist eine ganze Zahl
=> g < n!*e < g + 2*n!/(n+1)! = g + 2/(n+1) < g + 1 für n > 1 .

Da n immer so gewählt werden kann, dass n!*(beliebig gegebene rationale Zahl) ganzzahlig ist, kann e nicht rational sein, da g < n!*e < g + 1 bedeutet, dass n!*e zwischen zwei aufeinander folgender ganzer Zahlen liegt und somit nie ganzzahlig sein kann.
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2006 - 22:35:27    Titel:

... ist Deine Frage mit der obigen Ausführung beantwortet ?
steffi188
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Anmeldungsdatum: 11.02.2006
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2006 - 10:40:08    Titel:

ich verstehe die einzelnen schritte nicht....könntest mir das bitte nochmal näher erläutern...das wäre nett
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2006 - 11:41:50    Titel:

... der Text ist bereits die Erläuterung, Schritt für Schritt.
Welche Schritte meinst Du, die nicht klar sind ?
steffi188
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Anmeldungsdatum: 11.02.2006
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2006 - 19:15:38    Titel:

Es ist Summe(k=n+1 bis unendlich)(1/k!) = (1/(n+1)!)Summe(k=n+1 bis unendlich)((n+1)!/k!) =
= (1/(n+1)!)Summe(k=0 bis unendlich)((n+1)!/(n+1+k)!) < (1/(n+1)!)Summe(k=0 bis unendlich)(1/(n+2)^k) =

vielleicht seh ich auch grad den wald voller bäume nicht......
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2006 - 19:32:14    Titel:

.. ja, ein bisschen viel auf einmal
Es ist Summe(k=n+1 bis unendlich)(1/k!) = (1/(n+1)!)Summe(k=n+1 bis unendlich)((n+1)!/k!) =
= (1/(n+1)!)Summe(k=0 bis unendlich)((n+1)!/(n+1+k)!) < (1/(n+1)!)Summe(k=0 bis unendlich)(1/(n+2)^k) = ...

(1/(n+1)!)Summe(k=n+1 bis unendlich)((n+1)!/k!) bedeutet, dass ich
1/k! in (1/(n+1)!)*(n+1)!/k! umgeformt habe, 1/(n+1)! wurde aus der Summe gezogen und (n+1)!/k! ist für alle k>=n+1 eine Zahl <= 1, die abgeschätzt werden muss

(1/(n+1)!)Summe(k=n+1 bis unendlich)((n+1)!/k!) =
= (1/(n+1)!)Summe(k=0 bis unendlich)((n+1)!/(n+1+k)!)
gilt, weil ich k mit k >= n+1 nur durch n+1+k mit k >= 0 ersetzt habe, was gleichbedeutend ist

(1/(n+1)!)Summe(k=0 bis unendlich)((n+1)!/(n+1+k)!) < (1/(n+1)!)Summe(k=0 bis unendlich)(1/(n+2)^k)

Abschätzung:
(n+1)!/(n+1+k)! <= 1/(n+2)^k , "=" gilt nur für k=0 und k=1

Für k >= 1 haben wir:
(n+1)!/(n+1+k)! = 1/[(n+2)(n+3)...(n+1+k)] <= 1/[(n+2)(n+2)...(n+2)] {k mal (n+2)} = 1/(n+2)^k

o.k.?!
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 16 Feb 2006 - 18:29:34    Titel:

... sind alle Fragen beantwortet ? ...
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2006 - 18:09:00    Titel:

... offensichtlich sind alle Fragen beantwortet ... Rolling Eyes
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