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Differenzialrechnung - Tangentensteigung bei x^3
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mathehasser
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Anmeldungsdatum: 26.02.2006
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2006 - 15:16:57    Titel: Differenzialrechnung - Tangentensteigung bei x^3

Hallo Leute,
vielleich kann mir einer von euch bei dieser "schönen" Mathe Aufgabe helfen, ich habe ehrlich gesagt kein Plan wie sie geht Sad :

Grundfunktion des Graphen ist: f(x) = x^3

Ich soll nun bei diesem Graphen beim Punkt x0 (unser Lehrer will das wir das Ganze einmal ohne Zahlen durchrechnen) die Steigung bestimmen.


Ich habe sogar einen Lösungsansatz, bei der Polynomdivion bin ich dann allerdings mit meinem Latein am Ende. Mein Ansatz:


x ^ 3 - x0 ^3
______________

x - x0



Dann Polynomdivision:

(x^3 - x0^3 ) : (x^2 - x0) = ?????

Wie muss ich jetzt weiterrechen, sofern dieser Ansatz richtig ist, bzw. wie würdet ihr diese Aufgabe lösen ???

Schonmal danke im Voraus für die schnelle Hilfe

André
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2006 - 15:27:51    Titel:

Die Steigung läßt sich am leichtesten mit der Ableitung bestimmen!
f(x) = x³ =>
f'(x) = 3x²

=> Die Steigung im Punkt x0 ist f'(x0) = 3x0²
mathehasser
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Anmeldungsdatum: 26.02.2006
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2006 - 15:49:03    Titel:

Hallo Take,
das mit den 3x0^2 hat uns unser Lehrer schon gesagt, unsere Aufgabe ist es den Rechenweg aufzuzeigen, wie man von der Ausgangsrechnung

x ^ 3 - x0 ^3
______________

x - x0

auf 3x0^2 kommt.
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2006 - 16:16:01    Titel:

Dann ist es aber über den Grenzwert bestimmt:

lim[x->x0]((f(x) - f(x0)) / (x-x0))

Da
(x³ - x0³) : (x-x0) = x²+xx0+x0²
-(x³-x0x²)
--------------
x0x² - x0³
-(x0x² - xx0²)
-----------------
xx0² - x0³
-(xx0² - x0³)
-------------------
0

=>lim[x->x0]((f(x) - f(x0)) / (x-x0)) = lim[x->x0](x²+xx0+x0²) = 3x0²
mathehasser
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Anmeldungsdatum: 26.02.2006
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2006 - 16:22:26    Titel:

Danke für die schnelle Hilfe Smile
sule40
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Anmeldungsdatum: 07.11.2009
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 19:16:08    Titel:

ich habe auch eine frage dazu.
und zwar verstehe ich alles bis nach der division aber das mit:
=>lim[x->x0]((f(x) - f(x0)) / (x-x0)) = lim[x->x0](x²+xx0+x0²) = 3x0²

dem verstehe ich nicht!! können Sie mir vielleicht erläutern was damit genau gemeint ist?
z.b. in form von. wenn sich x x1 nähert passiert ....

bedanke mich jetzt schon recht herzlich !!

Sule
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3142

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 19:18:43    Titel:

lim[x->x0](x²+xx0+x0²) = 3x0²

Wenn sich x nun x0 nähert, dann gilt im Prizip: x = x0 und somit

x0^2 + x0*x0 + x0^2 = 3*x0^2
sule40
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Anmeldungsdatum: 07.11.2009
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 19:24:06    Titel:

danke für die schnelle antwort deniz aber habe es immer noch nicht kappiert..:$
was muss ich mit dem ergebnis des polinomdivisions machen?
sie sagen es gilt das prinzip x=x0 wie soll ich es mir erklären??:S
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3142

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 00:33:43    Titel:

Das Ergebnis liefert die Ableitung an der Stelle x0.

Das x=x0 gilt, liegt an der Definition der Ableitung.

f´(x) = dy/dx = lim x-> x0 (f(x) - f(x0) / (x-x0) )

x -> x0 lies "x geht gegen x0"

Wenn nun x gegen x0 geht, dann gilt x=x0.
sule40
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Anmeldungsdatum: 07.11.2009
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2009 - 11:33:42    Titel:

hmm..
da mir dem wegebnis habe ich nun verstanden.
die definition davon mit dx un dy und so macht es für mich noch komplizierter!
können Sie denn nicht diese sachen wenigstens mit wörtern umschreiben so dass ich wenigstens etwas davon verstehe.
vielleicht miz zwichenrechnungen und so..?!
tut mir leid,dass ich sie mehrfach störe aber bin in diesem thema ganz und gar nicht gut.

bedanke mich jetzt schon !
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