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Bew4 linear unabhänige Vektoren aus denen wieder l.a. vektor
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Bew4 linear unabhänige Vektoren aus denen wieder l.a. vektor
 
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lineare_algebra
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Anmeldungsdatum: 16.04.2006
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2006 - 17:29:05    Titel: Bew4 linear unabhänige Vektoren aus denen wieder l.a. vektor

Hallo,

ich bereite mich auf eine LA-Vorlesung vor und sitze gerade vor folgender Aufgabe:
Es sei V Vektorraum und es seien v1, v2, v3, v4 Elemente aus V linear unabhänig. Es sei w1 := v1, w2 := v1 + v2, w3 := v1 + v2 + v3 und w4 := v1 + v2 + v3 + v4.

Ich weiß dass die Vektoren linear unabhänig sind, wenn t1 * v1 + t2 * v2 + ... tn * vn = Nullvektor bilden, wobei mindestens ein t ungleich 0 sein muss (nichttrivial).
Kann ich damit etwas für den Beweis anfangen? Oder kennt jemand einen anderen Ansatz?


Über Tipps würde ich mich freuen.
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2006 - 17:36:59    Titel:

Ich denke mal, dass Du zeigen willst, dass w1-w4 linear unabhängig sind.

t1 * v1 + t2 * v2 + ... tn * vn = 0 <=> t1=t2=t3=t4=0


Du willst zeigen:

t1w1+t2w2+t3w3+t4w4 = 0 <=> t1=t2=t3=t4=0

Dazu für w1-w4 einfach die Summen einsetzen und nach v1-v4 sortieren.
lineare_algebra
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Anmeldungsdatum: 16.04.2006
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2006 - 11:46:21    Titel:

Hallo,

herzlichen Dank für deine Antwort.

Ich habe das jetzt gemacht, weiß aber nicht so ganz, was meine Schlussfolgerung ist bzw. ob ich das richtig verstanden habe.

Da 0 * etwas = 0 ergibt, und 0 + 0 auch gleich 0 ist, erhalte ich ja als Ergebnis null. Reicht das denn, um die lineare Unabhänigkeit der w`s verdeutlicht zu haben?
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2006 - 14:21:03    Titel:

Du willst zeigen:
0 = t1w1+t2w2+t3w3+t4w4 <=> t1=t2=t3=t4=0

Dazu:
t1w1+t2w2+t3w3+t4w4 = t1v1+t2(v1+v2)+t3(v1+v2+v3)+t4(v1+v2+v3+v4) = (t1+t2+t3+t4)v1 + (t2+t3+t4)v2 + (t3+t4)v3 + t4v4

Da k1v1+k2v2+k3v3+k4v4 = 0 <=> k1=k2=k3=k4=0
=> 0 = t1w1+t2w2+t3w3+t4w4 =(t1+t2+t3+t4)v1 + (t2+t3+t4)v2 + (t3+t4)v3 + t4v4
<=>t4 = t3+t4 = t2+t3+t4 = t1+t2+t3+t4 = 0
=> t4 = t3 = t2 = t1 = 0 => w1,w2,w3,w4 sin linear unabhängig!
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2006 - 14:26:59    Titel:

Zitat:
t1+t2+t3+t4 = 0
=> t4 = t3 = t2 = t1 = 0


impliziert nur, dass die summe der t null ist, aber alle t können auch ungleich null sein, oder sehe ich da was falsch?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2006 - 15:06:01    Titel:

Zitat:
oder sehe ich da was falsch?


Dein Einwand ist zwar inhaltlich richtig, greift aber hier nicht Smile So ist's besser Smile
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2006 - 16:01:13    Titel:

Ich denke mal, dass es eindeutig gemeint ist:

(t1+t2+t3+t4)v1 + (t2+t3+t4)v2 + (t3+t4)v3 + t4v4 = 0
<=> t1+t2+t3+t4 = 0 und
t2+t3+t4 = 0 und
t3+t4 = 0 und
t4 = 0

Da t4 = 0 => t3+t4 = 0 <=> t3=-t4=0
Da t3+t4 = 0 => t2+t3+t4 = 0 <=> t2 = -(t3+t4) = 0
Da t2+t3+t4 = 0 => t1+t2+t3+t4 = 0 <=> t1 = -(t2+t3+t4) = 0
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2006 - 16:49:15    Titel:

Ich hätte natürlich dazuschreiben sollen "take korrekt" Smile
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