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Extremwertaufgabe: Halbkugel in Kegel
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RiversCuomo
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Anmeldungsdatum: 19.08.2004
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2006 - 16:31:32    Titel: Extremwertaufgabe: Halbkugel in Kegel

Hallo!

Ich soll diese Extremwertaufgabe loesen:
Man hat einen Kegel und darin befindet sich eine Halbkugel. Wie gross muss der Radius des Kegels sein, damit das Volumen des Kegels minimal wird? Der Kegel soll wie eine Tangente an dem Kreis anliegen, also Kegel und Kreis sollen sich an einem Punkt beruehren.

Vielen Dank fuer Eure Hilfe!


Skizze:
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2006 - 17:30:40    Titel:

Hallo !

Aus Zeitgründen nur ein Tipp:

Wenn Du einen Querschnitt machst (Halbkreis in einem Winkel),
dann sollte das Problem relativ leicht lösbar sein.

Bilde allgemein die beiden Tangenten am Halbkreis.
Durch Rotation um die Winkelhalbierende bekommst
Du den Kegel mit Halbkugel.

Die Dreiecksfläche (Winkel auf x-Achse), in der der Halbkreis liegt,
soll also entsprechend der Aufgabe minimal sein.

Ich hoffe, das hilft.
RiversCuomo
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Anmeldungsdatum: 19.08.2004
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2006 - 17:55:52    Titel:

Hmmmm, dann waere ich ja eigentlich wieder bei meinem letzten Topic gelandet, oder?
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/61932,0.html

Die Aufgabe war, das alles in 3D darzustellen... aber es kommt ja eigentlich das Gleiche raus, 45 Grad, oder?

Wie kann ich das denn jetzt mathematisch korrekt hinschreiben, also:
V(Kegel) = 1/3 * r^2 * PI * h

Dann eine Beziehung zwischen r(Kegel) und r(Kreis) finden, das Ableiten und gleich 0 setzen....
halg
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Anmeldungsdatum: 07.06.2005
Beiträge: 1007

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2006 - 23:31:12    Titel:

R — Kugelradius
x — Winkel zwischen Seitenlinie (Mantellinie) und Grundfläche.

V = 1/3*pi*r²*h

h = R/cosx

r = R/sinx

V = 1/3*pi*(R/sinx)²*(R/cosx)

V = 1/3*pi*R³/(sin²x*cosx)

V´(x) = . . . . . .

V´(x) = 0


x = 0,955316618125 (=54,7356°)
RiversCuomo
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Anmeldungsdatum: 19.08.2004
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2006 - 00:05:26    Titel:

suuuuuuuuper, danke! werde mir das morgen früh mal in ruhe anschauen... ist jetzt zu spät um das zu verstehen Wink
RiversCuomo
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Anmeldungsdatum: 19.08.2004
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2006 - 12:14:53    Titel:

So, jetzt hab ich mir das mal angeschaut....

Also, den Wert 0.955316618125 konnte ich mit Maple auch ermitteln, aber warum sind das 54,7356 Grad?
EDIT: Ok, hab ich jetzt: (0.955316618125 / PI) * 180 = 54,7356

Und warum kommt als Loesung nicht 45 Grad raus, wie bei der vergleichbaren 2D Aufgabe?
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/61932,0.html

Vielen Dank nochmal!
RiversCuomo
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Anmeldungsdatum: 19.08.2004
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2006 - 12:59:46    Titel:

Hmmm, ich hab irgendwie immer noch nicht verstanden, warum das Volumen bei 54 Grad am kleinsten ist, aber die Flaeche bei 45 Grad am kleinsten ist:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/61932,0.html

Jetzt hab ich noch ein kleines Problem bei der Animation. Der Kegel soll tangential an der Kugel entlang laufen. Es muss nur noch der markierte Wert (n-i) angepasst werden, damit die Animation exakt ist. Dieser Wert gibt den Radius des Kegels an, der Parameter danach (-i) die Hoehe des Kegels. "n-i" als Radius und "i" als Hoehe bewirkt also, dass sich die Hoehe proportional zum Raduis aendert. Hier muesste ich jetzt eine absolut geniale Vorschrift hinschreiben, damit der Kegel stets auf der Kugel entlang laeuft. Kann mir da jemand helfen?
RiversCuomo
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Anmeldungsdatum: 19.08.2004
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2006 - 15:25:55    Titel:

Juhuuuuuuuuuuuuuuuu, es geht Very Happy

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