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Extremwertaufgabe bin ich dumm ?
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LeoHart
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Anmeldungsdatum: 06.10.2004
Beiträge: 155

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 11:58:39    Titel: Extremwertaufgabe bin ich dumm ?

Hallo,
hab hier eine Extremwertaufgabe liegen wo ich eigentlich dachte das man schnell damit fertig ist. Naja im Moment bereitet diese mir ganz schön Kopfzerbrechen Sad
Kann mir einer sagen was ich falsch gemacht hab oder wo mein Fehler liegt ?

Aufgabe:
Herr Blub besitzt ein Grundstück mit der Länge 480m und der Breite 272m er möchte einen rechtekigen Garten mit 78600m² anlegen. Jedoch soll der Umfang des Gartens so groß wie möglich werden. Welche Maße muss der Garten haben ?

Mein Ansatz:
Zielfunktion: U = 2*(480-a) + 2*(272-b)
Nebenbedingung: (480-a) * (272-b) = 78600

Nebenbedingung nach b aufgelöst:
b = 272 - (78600 / (480-a))

In die Zielfunktion einsetzen:
U = 2*[ (480-a) + (272 - 272 + (78600/(480-a))

1. Ableitung
U' = 2 *( -1 + 78600 / (480-a)² )

Die Funktion wird nur dann null wenn der zweite term 1 ergibt also:
480² - 2*480a + a² = 78600
a² - 2*480a + 480² -78600 = 0

pq -Formel Anwenden
a1 = ~760 --> ( kann nicht sein da, das Gründstück nur 480m Lang ist)
a2 = ~200

Zweite Ableitung, H / T lass ich mal weg ( kommt aber ein H raus )
a in die Nebenbedingung einsetzen und nach b auflösen

272 - 78600 / (480-200) =b

Jo und hier bekommt man - 8 Confused

Also wenn einer den Rechen- oder Denkfehler sieht bitte postet !
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 12:14:28    Titel:

Dein Ansatz:
Zielfunktion: U = 2*(480-a) + 2*(272-b)
Nebenbedingung: (480-a) * (272-b) = 78600

für was sollen die Werte a und b stehen?

falls a die Länge und b die Breite des geplanten Gartens sein sollten:
dann wäre doch:
U=2a+2b Arrow soll so gross wie möglich sein (ist ja schon ungewöhnlich!?)
mit a< 480 und b< 272 und a*b< 78600 (<: für kleiner-gleich)
ODER Question
LeoHart
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Anmeldungsdatum: 06.10.2004
Beiträge: 155

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 12:37:12    Titel:

Hab mir es so gedacht das a und b die Werte sind die man von de max. Länge abziehen muss um den Rechekigen Garten zu bekommen.

Also ist (480 -a) die Seite A und (272-b) die Seite B
Hab ach mit dem Ansatz probiert das a*b bzw. 2a+2b aber dann komm ich auf ein Quadrat und das Quadrat hat nicht den max. Umfang
quadrat
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Anmeldungsdatum: 10.04.2006
Beiträge: 74

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 13:33:49    Titel: Re: Extremwertaufgabe bin ich dumm ?

Guten Tag LeoHart


LeoHart hat folgendes geschrieben:
..

2*[ (480-a) + (272 - 272 + (78600/(480-a))

1. Ableitung
U' = 2 *( -1 + 78600 / (480-a)² )

...



Da sitzt der Teufel:

U'(a) = 2 * {- 1 - (78600/(480-a)^2}


so gerechnet folgt: a1 = 480 - 389.62 = 90.33m


Vielleicht stimmt's.
Gruss
quadrat
halg
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Anmeldungsdatum: 07.06.2005
Beiträge: 1007

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 13:37:22    Titel:

Das Quadrat ist das Minimum für den Umfang. Ein lokales Maximum gibt es nicht ====> man nimmt den Grenzwert.
a = 480 m
b = 78600/480 m
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 13:47:21    Titel:

halg hat folgendes geschrieben:
Das Quadrat ist das Minimum für den Umfang. Ein lokales Maximum gibt es nicht ====> man nimmt den Grenzwert.
a = 480 m
b = 78600/480 m


richtig!

@ LeoHeart

Deswegen musst Du bei saemtlichen Extremwetaufgaben die Randwerte des Intervalls pruefen, da es sein kann, dass es zwar ein lokaes Extremum gibt aber das absolute Extremum an den Raendern / am Rand erreicht wird.

Du kannst, wenn Du eine halbwegs ordentliche Skizze machst, die Randwertpruefen auch auslassen und die Argumentation mit der Skizze machen.

Gruss:


Matthias
LeoHart
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Anmeldungsdatum: 06.10.2004
Beiträge: 155

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 14:46:00    Titel:

THX an alle Very Happy

Dachte mir schon das es vieleicht an den Rändern liegt Embarassed Ist schon ein Jahr her als wir den Typen von Aufgaben gemacht haben deswegen ddie große Verwirrung.

Noch eine bitte, stimmt der oben genannte Rechenweg ?

@quadrat
An der stelle hab ich auch lange nachgedacht. Jedoch stimmt die Ableitung denn...

.... 78600 / (480-a) = 78600 * (480-a) ^(-1)
Ableiten:
.... 78600 * (-1) * (480-a)^(-2) * (-1)
quadrat
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Anmeldungsdatum: 10.04.2006
Beiträge: 74

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 15:03:07    Titel:

Hallo LeoHart



LeoHart hat folgendes geschrieben:


.. ich auch lange nachgedacht. Jedoch ...




In der Tat.

Fallen liegen hinter jedem Eck.

Wenigstens war es gut gemeint.

Gruss

quadrat
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